Introducción a la Física Moderna II - Página personal de Roberto ...
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Universidad <strong>de</strong> Sonora<br />
Departamento <strong>de</strong> <strong>Física</strong><br />
Dr. <strong>Roberto</strong> Pedro Duarte Zamorano<br />
© 2013
Temario<br />
1. Propieda<strong>de</strong>s ondu<strong>la</strong>torias <strong>de</strong> <strong>la</strong>s partícu<strong>la</strong>s.<br />
2. Estructura atómica.<br />
3. Mecánica cuántica.<br />
4. Teoría cuántica <strong>de</strong>l átomo <strong>de</strong> Hidrógeno.<br />
5. Átomos <strong>de</strong> muchos electrones.<br />
6. Molécu<strong>la</strong>s.<br />
7. Mecánica estadística.<br />
8. Estado sólido.
Temario<br />
1. Propieda<strong>de</strong>s ondu<strong>la</strong>torias <strong>de</strong> <strong>la</strong>s partícu<strong>la</strong>s.<br />
1. Ondas <strong>de</strong> De Broglie.<br />
2. La función <strong>de</strong> onda.<br />
3. El principio <strong>de</strong> incertidumbre.
1. Ondas <strong>de</strong> De Broglie<br />
A principios <strong>de</strong> <strong>la</strong> década <strong>de</strong> 1920 se había aceptado que <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong><br />
Bohr no estaba completa:<br />
• Fracasaba en <strong>la</strong> predicción <strong>de</strong> <strong>la</strong>s intensida<strong>de</strong>s observadas en <strong>la</strong>s<br />
líneas espectrales.<br />
• Era parcialmente exitosa para pre<strong>de</strong>cir <strong>la</strong>s longitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> ondas <strong>de</strong><br />
emisión y absorción para átomos <strong>de</strong> muchos electrones.<br />
• No proporcionaba una ecuación <strong>de</strong> movimiento que rigiese <strong>la</strong><br />
evolución temporal <strong>de</strong> los sistemas atómicos, a partir <strong>de</strong> un estado<br />
inicial.<br />
• Recalcaba en exceso <strong>la</strong> naturaleza corpuscu<strong>la</strong>r <strong>de</strong> <strong>la</strong> materia y no<br />
podía explicar <strong>la</strong> recién <strong>de</strong>scubierta dualidad onda-partícu<strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> luz.<br />
• No proporcionaba un esquema general para “cuantizar” otros sistemas,<br />
especialmente aquellos que no presentaban un movimiento periódico.<br />
El primer paso hacia una nueva mecánica <strong>de</strong> los sistemas atómicos fue<br />
dado en 1923 por el físico francés Louis Víctor <strong>de</strong> Broglie.
1. Ondas <strong>de</strong> De Broglie<br />
De Broglie en su tesis doctoral postuló que,<br />
<strong>de</strong>bido a que los fotones poseen características<br />
ondu<strong>la</strong>torias y corpuscu<strong>la</strong>res, quizá todas <strong>la</strong>s<br />
formas <strong>de</strong> <strong>la</strong> materia también tengan propieda<strong>de</strong>s<br />
ondu<strong>la</strong>torias y corpuscu<strong>la</strong>res.<br />
En 1923 esta i<strong>de</strong>a no tenía ninguna evi<strong>de</strong>ncia<br />
experimental; sin embargo, en 1927 Clinton J.<br />
Davisson (1881-1958) y Lester H. Germer (1896-<br />
1971) lograron una prueba experimental que<br />
confirmó <strong>la</strong> i<strong>de</strong>a <strong>de</strong> <strong>de</strong> Broglie: <strong>la</strong> difracción <strong>de</strong><br />
electrones no re<strong>la</strong>tivistas mediante un cristal.<br />
Louis Víctor <strong>de</strong> Broglie<br />
(1892-1987).<br />
Clinton J. Davisson (izquierda) y<br />
Lester H. Germer (centro) en los Bell<br />
Laboratories en Nueva York.
1. Ondas <strong>de</strong> De Broglie<br />
A continuación revisemos con un poco más <strong>de</strong> <strong>de</strong>talle <strong>la</strong> i<strong>de</strong>a <strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
Broglie.<br />
Un fotón <strong>de</strong> frecuencia n tiene un momento p dado por<br />
E hn<br />
h<br />
p <br />
c c l<br />
don<strong>de</strong> hemos usado que ln = c.<br />
Por lo tanto, po<strong>de</strong>mos escribir <strong>la</strong> longitud <strong>de</strong> onda <strong>de</strong> un fotón, en<br />
términos <strong>de</strong> su momento, como h<br />
l <br />
p<br />
Consi<strong>de</strong>rando <strong>la</strong> i<strong>de</strong>a <strong>de</strong> <strong>de</strong> Broglie, para una partícu<strong>la</strong> <strong>de</strong> masa m y<br />
velocidad v, po<strong>de</strong>mos escribir su longitud <strong>de</strong> onda <strong>de</strong> <strong>de</strong> Broglie como<br />
l <br />
h<br />
g mv<br />
don<strong>de</strong> se ha tomado p = gmv, y el factor re<strong>la</strong>tivista g <strong>de</strong>finido como g <br />
1<br />
2<br />
1<br />
v c<br />
2
1. Ondas <strong>de</strong> De Broglie<br />
La expresión anterior implica que, conforme aumenta el momento <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
partícu<strong>la</strong>, <strong>la</strong> longitud <strong>de</strong> <strong>de</strong> Broglie asociada disminuye, y viceversa.<br />
Al igual que en el caso <strong>de</strong> <strong>la</strong>s ondas electromagnéticas (fotones), los<br />
aspectos <strong>de</strong> onda y partícu<strong>la</strong> <strong>de</strong> un objeto en movimiento no se pue<strong>de</strong>n<br />
observar <strong>de</strong> manera simultánea, por lo que no po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>cir cuál es <strong>la</strong><br />
<strong>de</strong>scripción “correcta”.<br />
Es importante mencionar que lo único que po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>cir es que en<br />
ciertas situaciones un objeto en movimiento se comporta como onda y en<br />
otras situaciones lo hace como partícu<strong>la</strong>.<br />
Las propieda<strong>de</strong>s ondu<strong>la</strong>torias <strong>de</strong> un objeto toman relevancia cuando su<br />
longitud <strong>de</strong> onda <strong>de</strong> <strong>de</strong> Broglie, dada por<br />
h<br />
l <br />
g mv<br />
es comparable con <strong>la</strong>s dimensiones propias y <strong>de</strong> su entorno <strong>de</strong> interacción.
2. La función <strong>de</strong> Onda<br />
La onda <strong>de</strong> materia que representa a una partícu<strong>la</strong> en movimiento <strong>de</strong>be<br />
reflejar el hecho <strong>de</strong> que esta tiene una gran probabilidad <strong>de</strong> ser encontrada<br />
en una pequeña región <strong>de</strong>l espacio sólo en un tiempo específico.<br />
Una onda sinusoidal <strong>de</strong> extensión infinita y amplitud constante NO pue<strong>de</strong><br />
representar apropiadamente a una partícu<strong>la</strong> localizada en movimiento; por lo<br />
que se requiere un pulso, grupo <strong>de</strong> ondas o paquete <strong>de</strong> ondas <strong>de</strong> extensión<br />
espacial limitada, el cual pue<strong>de</strong> formarse sumando ondas sinusoidales con<br />
longitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> ondas diferentes.<br />
Se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>mostrar que este paquete <strong>de</strong> ondas se mueve a una<br />
velocidad <strong>de</strong> grupo v g , idéntica a <strong>la</strong> velocidad clásica <strong>de</strong> <strong>la</strong> partícu<strong>la</strong>.<br />
En realidad todas <strong>la</strong>s ondas observadas están limitadas a regiones<br />
<strong>de</strong>finidas <strong>de</strong>l espacio, por lo que una onda p<strong>la</strong>na con una longitud <strong>de</strong> onda<br />
exacta y extensión infinita es una abstracción
2. La función <strong>de</strong> Onda<br />
a) Partícu<strong>la</strong> <strong>de</strong> masa m y<br />
velocidad v 0 .<br />
b) Superposición <strong>de</strong> muchas<br />
ondas <strong>de</strong> materia con una<br />
dispersión <strong>de</strong> longitu<strong>de</strong>s<br />
<strong>de</strong> onda centradas en l 0 =<br />
mv 0 , que representa<br />
correctamente a <strong>la</strong> misma<br />
partícu<strong>la</strong><br />
Representación <strong>de</strong> una partícu<strong>la</strong> mediante ondas
2. La función <strong>de</strong> Onda<br />
Para continuar, vamos a consi<strong>de</strong>rar una onda unidimensional que se<br />
propaga en <strong>la</strong> dirección x positiva con una velocidad <strong>de</strong> fase (o velocidad <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong> onda viajera) v p , <strong>la</strong> cual pue<strong>de</strong> escribirse como<br />
don<strong>de</strong> l y f están re<strong>la</strong>cionadas por<br />
O, en términos <strong>de</strong>l número <strong>de</strong> onda k (= 2p/l) y <strong>la</strong> frecuencia angu<strong>la</strong>r w (=2pf)<br />
con<br />
2p<br />
x <br />
y( x, t) ACos 2p<br />
ft <br />
l <br />
v<br />
p<br />
l f<br />
y( x, t)<br />
ACos kx wt<br />
v p<br />
<br />
w<br />
<br />
k
2. La función <strong>de</strong> Onda<br />
A continuación consi<strong>de</strong>remos que se tienen dos ondas viajando a <strong>la</strong><br />
<strong>de</strong>recha con <strong>la</strong> misma amplitud, pero longitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> onda, frecuencias y<br />
velocidad <strong>de</strong> fase ligeramente diferentes:<br />
y ( x, t)<br />
ACos k x t<br />
w<br />
<br />
<br />
y y ( x, t)<br />
ACos k x w t<br />
1 1 1<br />
con lo que <strong>la</strong> onda resultante es<br />
2 2 2<br />
y ( R<br />
x , t ) A Cos k1x w1t Cos k2x w2t<br />
<br />
Esta expresión pue<strong>de</strong> simplificarse si usamos <strong>la</strong> i<strong>de</strong>ntidad<br />
a b a b<br />
<br />
Cosa Cosb 2Cos Cos<br />
<br />
2 2
2. La función <strong>de</strong> Onda<br />
Con ello, <strong>la</strong> expresión para <strong>la</strong> onda resultante se pue<strong>de</strong> rescribir como<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
w2 w1 <br />
2<br />
2<br />
<br />
1 w2<br />
w1<br />
<br />
yR ( x, t)<br />
2ACos k k x t<br />
Cos k k x t<br />
Para el caso <strong>de</strong> dos ondas con valores <strong>de</strong> k y w, ligeramente diferentes se<br />
observa que Dk = k 2 - k 1 y Dw = w 2 - w 1 son pequeños, pero k 2 + k 1 y w 2 + w 1 son<br />
gran<strong>de</strong>s<br />
Lo anterior pue<strong>de</strong><br />
interpretarse como una<br />
envolvente sinusoidal<br />
ancha (<strong>la</strong> parte en rojo)<br />
que limita o modu<strong>la</strong><br />
una onda <strong>de</strong> alta<br />
frecuencia <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
envolvente (<strong>la</strong> parte en<br />
negro).
2. La función <strong>de</strong> Onda<br />
Aunque este mo<strong>de</strong>lo es muy sencillo y no representa un pulso limitado a<br />
una pequeña región <strong>de</strong>l espacio, muestra varias características interesantes<br />
comunes a mo<strong>de</strong>los más complicados.<br />
1. La envolvente y <strong>la</strong> onda en su interior se mueven a velocida<strong>de</strong>s<br />
diferentes:<br />
• Para <strong>la</strong> onda <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> <strong>la</strong> envolvente<br />
vp<br />
• Para <strong>la</strong> onda envolvente (o grupo)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
w w /2 w<br />
k k /2 k<br />
2 1 1<br />
<br />
2 1 1<br />
v<br />
1<br />
v g<br />
<br />
<br />
<br />
2 1<br />
<br />
<br />
w2 w1<br />
/2 Dw<br />
<br />
k k /2 Dk
2. La función <strong>de</strong> Onda<br />
Aunque este mo<strong>de</strong>lo es muy sencillo y no representa un pulso limitado a<br />
una pequeña región <strong>de</strong>l espacio, muestra varias características interesantes<br />
comunes a mo<strong>de</strong>los más complicados.<br />
2. Mientras más pequeño es el ancho espacial <strong>de</strong>l pulso, Dx, mayor es el<br />
intervalo <strong>de</strong> longitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> onda o números <strong>de</strong> onda, Dk, necesario para<br />
formar el pulso, matemáticamente p<strong>la</strong>nteado como<br />
DxDk<br />
1<br />
3. De manera semejante, si <strong>la</strong> duración temporal, Dt, <strong>de</strong>l pulso es pequeña,<br />
se requiere una amplia distribución <strong>de</strong> frecuencias, Dw, para formar el<br />
grupo, es <strong>de</strong>cir<br />
Dt<br />
Dw<br />
1<br />
Estas ecuaciones constituyen re<strong>la</strong>ciones <strong>de</strong> incertidumbre o<br />
re<strong>la</strong>ciones <strong>de</strong> reciprocidad para pulsos <strong>de</strong> cualquier tipo:<br />
electromagnéticos, sonoros e, incluso, ondas <strong>de</strong> materia.
3. El principio <strong>de</strong> incertidumbre<br />
El principio <strong>de</strong> incertidumbre <strong>de</strong> Heisenberg<br />
establece que “es imposible conocer <strong>de</strong> manera<br />
simultánea y exacta <strong>la</strong> posición y el momento <strong>de</strong> un<br />
objeto”. Dicho principio fue <strong>de</strong>scubierto por W.<br />
Heisenberg en 1927, siendo uno <strong>de</strong> los más significativos<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong>s leyes físicas.<br />
Es necesario un análisis formal para justificar <strong>la</strong><br />
conclusión anterior y estar en condiciones <strong>de</strong><br />
cuantificar<strong>la</strong>; no basta consi<strong>de</strong>rar un paquete <strong>de</strong> ondas<br />
formado por dos ondas armónicas como se hizo<br />
anteriormente.<br />
De hecho, se necesita un número infinito <strong>de</strong> ondas<br />
Werner Karl Heisenberg<br />
(1901-1976).<br />
armónicas con diferentes frecuencias, números <strong>de</strong> onda y amplitu<strong>de</strong>s para<br />
tener un grupo ais<strong>la</strong>do <strong>de</strong> forma arbitraria.<br />
En tal caso, vamos a requerir <strong>de</strong> una herramienta <strong>de</strong>sarrol<strong>la</strong>da por Joseph<br />
Fourier y que se conoce como análisis <strong>de</strong> Fourier.
3. El principio <strong>de</strong> incertidumbre<br />
El análisis <strong>de</strong> Fourier surgió a partir <strong>de</strong>l<br />
intento <strong>de</strong> éste matemático francés por hal<strong>la</strong>r<br />
<strong>la</strong> solución a un problema práctico, <strong>la</strong><br />
conducción <strong>de</strong>l calor en un anillo <strong>de</strong> hierro.<br />
Fourier <strong>de</strong>mostró que se pue<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>scomponer una función periódica en<br />
series trigonométricas convergentes<br />
(basadas en senos y cosenos) y que, en su<br />
honor, reciben el nombre <strong>de</strong> Series <strong>de</strong><br />
Fourier.<br />
Las ondas armónicas continuas e infinitas<br />
no existen realmente, ya que los sistemas<br />
están limitados tanto espacial como<br />
temporalmente, así que toma sentido analizar<br />
ondas localizadas.<br />
Jean Baptiste Joseph Fourier<br />
(1768-1830)
3. El principio <strong>de</strong> incertidumbre<br />
Para formar un pulso que sea cero en todas partes fuera <strong>de</strong> un intervalo<br />
espacial finito Dx, se requiere sumar un número infinito <strong>de</strong> ondas armónicas<br />
cuyas longitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> onda y amplitu<strong>de</strong>s varíen <strong>de</strong> manera continua. Esta<br />
suma pue<strong>de</strong> efectuarse con una integral <strong>de</strong> Fourier.<br />
Siguiendo <strong>la</strong> i<strong>de</strong>a anterior, a un cierto tiempo t, el grupo <strong>de</strong> ondas<br />
localizado espacialmente, y R (x), se pue<strong>de</strong> representar mediante <strong>la</strong> integral <strong>de</strong><br />
Fourier<br />
1 <br />
ikx<br />
yR<br />
( x) g( k)<br />
e dk<br />
2p<br />
<br />
don<strong>de</strong> <strong>la</strong> función g(k) <strong>de</strong>scribe cómo <strong>la</strong> amplitud <strong>de</strong> <strong>la</strong>s ondas que<br />
contribuyen a y R (x) varía con el número <strong>de</strong> onda k (=2p/l), y e ikx es <strong>la</strong><br />
expresión abreviada <strong>de</strong> Euler para una onda armónica.<br />
La función g(k) recibe el nombre <strong>de</strong> Transformada <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> y R (x).
3. El principio <strong>de</strong> incertidumbre<br />
Si se conoce y R (x), <strong>la</strong> función <strong>de</strong> distribución <strong>de</strong> amplitud o Transformada<br />
<strong>de</strong> Fourier g(k) se pue<strong>de</strong> obtener mediante <strong>la</strong> expresión<br />
1 <br />
ikx<br />
g( k) yR<br />
( x)<br />
e dx<br />
2p<br />
<br />
Este par <strong>de</strong> ecuaciones son válidas para el caso <strong>de</strong> un pulso espacial en<br />
un tiempo dado, pero es importante mencionar que son matemáticamente<br />
idénticas al caso <strong>de</strong> un pulso temporal que pasa por una posición fija. En este<br />
segundo caso, bastará hacer los cambios x por t y k por w, resultando<br />
F( w) <br />
1 <br />
iwt<br />
f ( t)<br />
e dt<br />
2p<br />
<br />
f ( t) <br />
1 <br />
iwt<br />
F( w)<br />
e dw<br />
2p<br />
<br />
Transformada <strong>de</strong><br />
Fourier<br />
Transformada<br />
inversa <strong>de</strong> Fourier
3. El principio <strong>de</strong> incertidumbre<br />
Regresando a nuestro asunto <strong>de</strong> interés, se requiere conocer qué valores<br />
toma (o pue<strong>de</strong> tomar) el producto Dx∙Dk.<br />
Sin entrar en <strong>de</strong>talles, se pue<strong>de</strong> mostrar que <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción entre <strong>la</strong> distancia<br />
Dx y <strong>la</strong> dispersión <strong>de</strong>l número <strong>de</strong> onda Dk <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l aspecto <strong>de</strong>l paquete<br />
<strong>de</strong> ondas y también <strong>de</strong> <strong>la</strong> forma en cómo sean <strong>de</strong>finidos Dx y Dk.
3. El principio <strong>de</strong> incertidumbre<br />
El valor mínimo <strong>de</strong>l producto Dx∙Dk ocurre cuando <strong>la</strong> envolvente <strong>de</strong>l<br />
paquete <strong>de</strong> ondas tiene <strong>la</strong> conocida forma <strong>de</strong> campana <strong>de</strong> <strong>la</strong> función<br />
Gaussiana; en este caso, <strong>la</strong> transformada <strong>de</strong> Fourier tiene <strong>la</strong> misma forma que<br />
<strong>la</strong> función original, tal como se muestra en <strong>la</strong> figura.<br />
Si Dx y Dk se toman como <strong>la</strong>s<br />
<strong>de</strong>sviaciones estándar <strong>de</strong>l grupo <strong>de</strong> ondas<br />
y su transformada, respectivamente, se<br />
encuentra que el valor que toma el<br />
producto Dx∙Dk es ½, por lo que al<br />
correspon<strong>de</strong>r al valor mínimo, permite<br />
escribir que<br />
DxDk<br />
<br />
1<br />
2
3. El principio <strong>de</strong> incertidumbre<br />
Por otro <strong>la</strong>do, <strong>la</strong> longitud <strong>de</strong> onda <strong>de</strong> <strong>de</strong> Broglie para una partícu<strong>la</strong> <strong>de</strong><br />
momento p es l = h / p, y su correspondiente número <strong>de</strong> onda es<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong><br />
2p<br />
k <br />
h<br />
2pDp<br />
Dk<br />
<br />
h<br />
Con esto, po<strong>de</strong>mos escribir <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción <strong>de</strong> incertidumbre<br />
1<br />
DxDk<br />
<br />
2<br />
como<br />
<br />
Dx<br />
<br />
<br />
2pDp<br />
1<br />
<br />
h 2<br />
La re<strong>la</strong>ción anterior es el bien conocido principio <strong>de</strong> incertidumbre <strong>de</strong><br />
Heisenberg:<br />
DxDp<br />
h<br />
4<br />
p
3. El principio <strong>de</strong> incertidumbre<br />
La <strong>de</strong>sigualdad anterior implica que, en cualquier instante, el producto<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> incertidumbre en <strong>la</strong> posición <strong>de</strong> un objeto (Dx) por <strong>la</strong> incertidumbre en<br />
su momento (Dp) tiene el valor mínimo <strong>de</strong> h/4p, in<strong>de</strong>pendientemente <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
precisión con que se intente medir, es <strong>de</strong>cir, no es un problema <strong>de</strong> medición,<br />
sino <strong>de</strong> <strong>la</strong> propia naturaleza <strong>de</strong> <strong>la</strong>s cantida<strong>de</strong>s física involucradas.<br />
Finalmente, dado <strong>la</strong> aparición recurrente en <strong>la</strong> física mo<strong>de</strong>rna <strong>de</strong>l<br />
término h/2p, resulta útil abreviarlo mediante el empleo <strong>de</strong> <strong>la</strong> constante<br />
reducida <strong>de</strong> P<strong>la</strong>nck o “h barra”:<br />
h<br />
2p<br />
34<br />
1.05457162810<br />
<br />
Con lo que po<strong>de</strong>mos escribir el principio <strong>de</strong> incertidumbre <strong>de</strong> Heisenberg<br />
como<br />
J s<br />
DxDp<br />
2
Universidad <strong>de</strong> Sonora<br />
Departamento <strong>de</strong> <strong>Física</strong><br />
Dr. <strong>Roberto</strong> Pedro Duarte Zamorano<br />
© 2013