Cinemática Rotacional - Página personal de Roberto Pedro Duarte ...

Universidad de SonoraDepartamento de FísicaDr. Roberto Pedro Duarte Zamorano© 2011

Temario1. Cinemática rotacional.2. Dinámica rotacional.3. Las leyes de Newton en sistemas de referenciaacelerados.4. La ley de la gravitación de Newton.5. Oscilaciones.6. Movimiento ondulatorio.7. Ondas sonoras.

Temario1. Cinemática rotacional.1. Desplazamiento, velocidad y aceleración angulares.2. Movimiento rotacional uniformemente acelerado.3. Rotación del cuerpo rígido.i. Energía cinética rotacional.ii. Cálculo del momento de inercia.iii.Teorema de los ejes paralelos.

1.- Desplazamiento, velocidad yaceleración angularesEn el estudio del movimiento lineal, los conceptosimportantes son el desplazamiento Dx, la velocidad v, y laaceleración a, ya que la combinación de ellos nospermite hacer una descripción completa del movimientode un objeto.En lo que sigue veremos que cada uno de estosconceptos tiene su análogo en el movimiento rotacional, asaber, desplazamiento angular Dq, velocidad angular w, yaceleración angular a.

1.- Desplazamiento, velocidad yaceleración angularesCuando un objeto extendido, por ejemplo una rueda,rota sobre su eje, el movimiento no puede analizarse si elobjeto se trata como partícula, porque en cualquierinstante dado diferentes partes del objeto tienenvelocidades y aceleraciones lineales diferentes.Podemos, sin embargo, analizar este movimientoconsiderando que el objeto extendido está compuesto deuna colección muy grande de partículas, cada una con supropia velocidad y aceleración lineales.

1.- Desplazamiento, velocidad yaceleración angularesConsideremos, por ejemplo, larotación de un disco compactoalrededor de un eje perpendicular alplano del mismo, que pasa por el puntoO, llamado pivote, tal como se muestra.Si analizamos el movimiento de unade las “partículas” que lo componen,ubicada en el punto P, advertimos queconforme el disco rota, dicha partículase mueve sobre el arco de unacircunferencia de radio r centrada en O.

1.- Desplazamiento, velocidad yaceleración angularesDe hecho todas las partículas delobjeto realizan un movimiento circularalrededor del pivote.Representando la posición de lapartícula P en coordenadas polares (r,q)donde r es la distancia del pivote alpunto P, mientras que q es el ánguloformado a partir del eje polar (+x)medido en la dirección contrarreloj.En este caso es fácil advertir que laúnica coordenada que cambia es q, yaque r permanece constante.

1.- Desplazamiento, velocidad yaceleración angularesConforme la partícula se mueve en sutrayectoria circular esta describe un arcos a partir de una línea de referencia(q = 0), que también recibe el nombre deeje polar.La longitud del arco s se relaciona conel ángulo q mediante la expresiónde dondes = r qq = s / r

1.- Desplazamiento, velocidad yaceleración angularesA partir de esta última relación, q resulta adimensional;sin embargo, comúnmente le agregamos la unidadartificial llamada radián (rad).Se define un radian como elángulo subtendido por unarco de longitud igual alradio de dicho arcoTomando como referente que el perímetro de unacircunferencia es 2pr, tenemos que 360°, es decir unarevolución completa, corresponden a un ángulo de 2p rad.

1.- Desplazamiento, velocidad yaceleración angularesEs conveniente mencionar queaún cuando en el SI, la unidadpara la posición angular q es elradian (rad), en ocasiones seutilizan para cuantificarlo, demanera inexacta, las revoluciones(rev), de tal forma que1 rev 360 2 p radde donde1 rad 57.2958°

1.- Desplazamiento, velocidad yaceleración angularesDebido a que el disco analizado es unobjeto rígido, conforme una partícula semueve sobre una trayectoria circular,todas las demás partículas del discotambién rotan el mismo ángulo q, por loque podemos asociar este ángulo q, lomismo a una partícula, que al discoentero.Lo anterior permite escoger una líneade referencia en el cuerpo y, a partir deella definir la posición angular delcuerpo rígido q.

1.- Desplazamiento, velocidad yaceleración angularesConforme la partícula encuestión viaja de la posición A a laposición B en un intervalo detiempo Dt (= t f - t i ), el radio vector rbarre un ángulo Dq (= q f – q i ).Se define el desplazamientoangular del cuerpo rígido comola variación de su posiciónangular q, a saberDq q qDesplazamientof iDq radangular

1.- Desplazamiento, velocidad yaceleración angularesLa rapidez con la que ocurreeste desplazamiento puede variar,para cuantificar esta diferencia seintroduce el concepto de rapidezangular.Se define la rapidez angularmedia w m como el cociente deldesplazamiento angular entreel intervalo de tiemporequerido, a saberwmqfqiDqt t Dtfiwm rad sRapidez angularmedia

1.- Desplazamiento, velocidad yaceleración angularesSi consideramos un intervalo detiempo infinitamente pequeñopodemos, en analogía con larapidez lineal, definir la rapidezinstantánea.Se define la rapidez angularinstantánea w como el límitecuando Dt tiende a cero en larazón del desplazamientoangular entre el intervalo detiempo, a saberw limD t 0DqDtdqdtw rad sRapidez angularinstantánea

1.- Desplazamiento, velocidad yaceleración angularesComo la velocidad es unvector, es necesario asociarleuna dirección; para ello, seconsidera que• w es positiva cuando Dqaumenta (movimientocontrarreloj)• w es negativa cuando Dqdecrece (movimiento afavor del reloj).

1.- Desplazamiento, velocidad yaceleración angularesFinalmente, si la rapidez angular instantánea de unobjeto cambia de w i a w f en el intervalo de tiempo Dt,entonces el objeto tiene una aceleración angular.En el esquema, la rueda de la bicicleta está acelerada.

1.- Desplazamiento, velocidad yaceleración angularesSe define la aceleración angularmedia a m como el cociente delcambio de la rapidez angular entreel intervalo de tiempo requerido. 2mamwfwiDwt t Dtfa rad si

1.- Desplazamiento, velocidad yaceleración angularesDe nueva cuenta, si consideramos un intervalo detiempo infinitamente pequeño podemos, en analogía conla aceleración lineal, definir la aceleración angularinstantánea.Se define la aceleración angular instantánea a como ellímite cuando Dt tiende a cero en la razón del cambiode rapidez angular entre el intervalo de tiempo, asabera limD t 0DwDtdwdta rad s2

2.- Movimiento rotacionaluniformemente aceleradoCuando un cuerpo rígidorota alrededor de un eje fijo,todas y cada una de laspartículas que lo componengiran con la misma rapidezangular w y la mismaaceleración angular a, por loque estas cantidades (q, w y a)nos permiten describir elmovimiento rotacional delcuerpo en su conjunto.Usando estas cantidades podemos simplificar elanálisis de la rotación de un cuerpo rígido.

2.- Movimiento rotacionaluniformemente aceleradoMás adelante veremos quela posición angular (q), rapidezangular (w) y aceleraciónangular (a) son análogas a laposición lineal (x), rapidezlineal (v) y aceleración lineal(a).De hecho, sólo difierendimensionalmente entre sí, porun factor que tiene unidadesde longitud.

2.- Movimiento rotacionaluniformemente aceleradoPartiendo de la definición de aceleración angularinstantánea podemos escribirdwque al integrar desde w i al tiempo 0 a w f al tiempo t,considerando a constante, nos lleva a la primeraecuación de la cinemática rotacionalEcuación (I)Si a continuación sustituimos esta ecuación en ladefinición de rapidez angular instantánea tenemosadtfi tw w adqwiatdt

2.- Movimiento rotacionales deciruniformemente aceleradodq w at dtique al integrar desde q i al tiempo 0 a q f al tiempo t,considerando que a y w i son constantes, nos lleva a lasegunda ecuación de la cinemática rotacional12q f q t ti w i a2Ecuación (II) 2 A continuación, si de las ecuaciones (I) y (II) eliminamosel tiempo, obtenemos la tercera ecuación de lacinemática rotacionalw w a q q2 2f i f iEcuación (III)

2.- Movimiento rotacionaluniformemente aceleradoFinalmente, si de las ecuaciones (I) y (II) eliminamos laaceleración a, obtenemos la cuarta ecuación de lacinemática rotacional1fi2 iftq q w wEcuación (IV)Resumiendo, las ecuaciones de la cinemática delMovimiento Rotacional Uniformemente Acelerado son

2.- Movimiento rotacionaluniformemente acelerado. Ejemplos10S8. La tina de una lavadora entra en su ciclo de giro, partiendodel reposo y adquiriendo rapidez angular de maneraconstante durante 8.00s, cuando está girando a 5.00rev/s.En este punto la persona que está lavando abre la tapa y uninterruptor de seguridad apaga la lavadora. La tina sedetiene suavemente hasta el reposo en 12.0s. ¿Durantecuántas revoluciones la tina gira mientras está enmovimiento?

2.- Movimiento rotacionaluniformemente acelerado. Ejemplos10S65. La rapidez de una bala en movimiento puededeterminarse al permitir que esta atraviese dos discosgiratorios de papel montados sobre un mismo eje yseparados por una distancia d. A partir del desplazamientoangular Dq de los agujeros de la bala en los discos y de larapidez rotacional w se puede determinar la rapidez v de labala. (a) Encuentre la expresión para v, y (b) ¿Cuál es elvalor de v para una situación en que d = 80cm,w = 900rev/min y Dq = 31.0°?

2.- Movimiento rotacionaluniformemente acelerado. Ejemplos10S57. Un eje está girando a 65.0rad/s al tiempo cero. Tiempodespués su aceleración angular está dada pora(t) = -10 rad/s 2 - 5t rad/s 3donde t es el tiempo transcurrido. (a) Encuentre lasexpresiones para la rapidez y posición angulares, (b) ¿Quérapidez angular tiene en t = 3.00s?, y (c) ¿Cuánto ha giradoen estos 3 s?

2.- Movimiento rotacionaluniformemente acelerado. Ejemplos10S6. Una centrifugadora en un laboratorio médico gira con unarapidez angular de 3600 rev/min. Cuando se apaga, rota50.0 veces antes de detenerse. Encuentre la aceleraciónangular (supuesta constante) de la centrifugadora.

Cantidades Lineales y AngularesComparación entre las ecuaciones de movimientoLinealesAngularess = s 0 + v m (t – t 0 ) q = q 0 + w m (t – t 0 )v = v 0 + a (t – t 0 ) w = w 0 + a (t – t 0 )v m = ½ (v + v 0 ) w m = ½ (w+ w 0 )v 2 - v 02= 2 a (s – s 0 ) w 2 - w 02=2 a (q – q 0 )s = s 0 + v 0 t + ½ a (t - t 0 ) 2 q = q 0 + w 0 t + ½ a (t - t 0 ) 2Nota: Para convertir cantidades angulares a lineales, las primerasdeben de estar expresadas en radianes

3.- Rotación del cuerpo rígidoCuando un objeto extendido rota sobre un eje, sumovimiento no puede ser analizado tratándolo comopartícula porque, en un instante dado, las diferentespartes del objeto tienen velocidades y aceleracioneslineales diferentes.

3.- Rotación del cuerpo rígidoSin embargo, podemos analizar el movimientoconsiderando que está compuesto por una colección departículas, cada una con su propia velocidad yaceleración lineal, pero con la misma rapidez yaceleración angular.Con lo anterior, elanálisis de un objeto querota se simplificasustancialmente si seasume que el objeto esrígido.

3.- Rotación del cuerpo rígido¿Qué es un cuerpo rígido?Se llama cuerpo rígidoal modelo idealizado queconsidera a un cuerpocomo indeformable, esdecir con tamaño y formaperfectamente definidos einmutables.Esto implica que las posiciones relativas de todas laspartículas que componen el objeto se mantienenconstantes.

3.- Rotación del cuerpo rígido¿Qué es un cuerpo rígido?En la vida real loscuerpos no son rígidos yaque son afectados por lasfuerzas que actúan sobreellos, pudiendo estirarlos,torcerlos, aplastarlos, etc.Sin embargo, nuestro modelo de cuerpo rígido es útilen muchas situaciones en las que la deformación esinsignificante o despreciable.

3.1.- Energía cinética rotacional.Con anterioridad se ha definido la energía cinética deun objeto como la energía asociada a su movimiento através del espacio. En particular, esta depende delcuadrado de la velocidad con que se desplace, a saberK12mv2donde K es la energía cinética (traslacional), m es lamasa del objeto y v es su velocidad.

3.1.- Energía cinética rotacional.Un objeto que rota sobre un eje fijo permaneceinmóvil en el espacio, por lo que no se le puede asociarenergía cinética debida al movimiento de translación.Sin embargo, cada una de las partículas quecomponen el objeto que rota se mueven a través delespacio siguiendo trayectorias circulares. Por lo tanto,debe haber energía cinética asociada al movimiento derotación.

3.1.- Energía cinética rotacional.Para el cálculo de laenergía cinética rotacionalde un cuerpo rígido unabuena idea es considerarlocomo una colección departículas rotando alrededordel eje fijo z, con una rapidezangular w.En particular, esconveniente seleccionar unapartícula de masa m i ubicadaa una distancia r i del eje derotación.

3.1.- Energía cinética rotacional.Cada una de talespartícula tiene una energíacinética determinada por sumasa m y su rapideztangencial v.Si la masa de la i-ésimapartícula es m i y suvelocidad tangencial es v i ,entonces su energía cinéticaestá dada porK12m v2i i i

3.1.- Energía cinética rotacional.Si ahora usamos el hechode que cada partícula en elcuerpo rígido tiene la mismavelocidad angular w, esposible escribirK1 2m rwi i i 2Con lo que la energíacinética total del cuerporígido que rota es la suma delas energías cinéticas decada una de las partículas.

3.1.- Energía cinética rotacional.La energía cinéticarotacional total K R está dadaporReagrupandopodemos escribiroK 1 2m rwR i iiKR i12 2términosm r w2 2i i1 22KR miriw2 i

3.1.- Energía cinética rotacional.Momento de inerciaLa expresión anterior se puede simplificar definiendola cantidad entre paréntesis como el momento de inerciaI, a saber:I mri2i iDe esta definición vemos que el momento de inerciatiene dimensiones de ML 2 (kg·m 2 , en unidades del SI).

3.1.- Energía cinética rotacional.Con esta definición, la energía cinética rotacionalresulta serKR122IwAunque nos refiramos a esta cantidad como energíacinética rotacional, es importante mencionar que no esuna nueva forma de energía. Es energía cinéticaordinaria porque se obtiene de sumar las energíascinéticas de cada una de las partículas que forman elcuerpo rígido. Sin embargo, su forma matemática esconveniente cuando estudiamos el movimientorotacional, con tal que sepamos calcular el momento deinercia I.

3.1.- Energía cinética rotacional.Relación entre K T y K RAntes de concluir, es importante revisar la analogíaentre la energía cinética asociada con el movimientolineal K T y la energía cinética rotacional K R . Lascantidades I y w en el movimiento rotacional sonanálogas a m y a v en el movimiento lineal,respectivamente.De hecho, el momento de inercia es una medida de laresistencia de un objeto a los cambios en su movimientorotacional, al igual como la masa es una medida de latendencia de un objeto a resistir cambios en sumovimiento lineal.

3.1.- Energía cinética rotacional.Un ejemplo10S20. Barras rígidas de masa despreciablese ubican a lo largo del eje yconectando tres partículas. Si elsistema rota alrededor del eje x conuna velocidad angular de 2.00rad/s,(a) encuentre el momento de inerciaalrededor del eje x y la energíacinética rotacional; y (b) evalúe lavelocidad tangencial de cadapartícula y la energía cinética total.

3.2.- Cálculo del momento de inercia.Ahora veremos cómo se puede calcular el momentode inercia I para un cuerpo rígido.Podemos evaluar el momento de la inercia de uncuerpo rígido extendido imaginando que el cuerpopuede ser dividido en muchos elementos pequeños devolumen, cada uno con masa Dm i , a continuaciónpodemos utilizar la definición de I y tomar el límite deesta suma cuando Dm i tiende a cero.

3.2.- Cálculo del momento de inercia.Con lo anterior, la sumatoria se sustituye por unaintegral sobre el volumen del cuerpo, a saberI lim r Dm r dmDm0ii22i iVEn la práctica es más usual calcular esta integral entérminos del volumen, para ello se utiliza la definición dedensidad de masa r dada porr mV

3.2.- Cálculo del momento de inercia.Con esto, es posible reescribir el diferencial de masadm comodm rdVAsí que el momento de inercia I, en términos de ladensidad y del volumen, resulta serI rV2r dVdonde r puede ser función de r (y, por lo tanto, de dV).

3.2.- Cálculo del momento de inercia.La densidad dada porr a menudo se conoce como densidad volumétrica de masaporque representa la masa por unidad de volumen.mVSin embargo, existen otras formas de expresar ladensidad, por ejemplo densidad superficial de masa odensidad lineal de masa.

3.2.- Cálculo del momento de inercia.Por ejemplo, para el caso de una placa de espesoruniforme t, podemos definir una densidad superficial demasa s, comos mA rtque representa la masa por unidad de área.Las unidades de s son, usando unidades del SI, kg/m 2 .

3.2.- Cálculo del momento de inercia.Finalmente, cuando la masa se distribuye a lo largo deuna barra con una sección transversal de área A,utilizamos a veces la densidad lineal de masa l definidacomol mL rAque representa la masa por unidad de longitud.Las unidades de l son, usando unidades del SI, kg/m.

3.2.- Cálculo del momento de inercia.Un ejemplo.Dos partículas, cada una de masa m, están unidas entre sí y a uneje de rotación por dos varillas, cada una de longitud L y masa M. Lacombinación gira alrededor del eje de rotación, ubicado en elextremo libre de una varilla, con una rapidez angular w. Obtenga lasexpresiones algebraicas para (a) la inercia de rotación del arreglo entorno al pivote O; y (b) la energía cinética de rotación en torno a O.

3.2.- Cálculo del momento de inercia.

3.2.- Cálculo del momento de inercia.

3.3.- Teorema de ejes paralelos.Los momentos de inercia de cuerpos rígidos con unageometría simple (es decir, con alta simetría) sonrelativamente fáciles de calcular cuando el eje derotación coincide con uno de los ejes de simetría.Sin embargo, el cálculo del momento de inerciaalrededor de un eje arbitrario puede ser complicado,incluso para un objeto altamente simétrico.

3.3.- Teorema de ejes paralelos.Afortunadamente, el uso de un teorema importante,llamado “teorema de ejes paralelos”, simplifica a menudoel cálculo.Suponga que el momento de inercia sobre un eje quepasa a través del centro de masa de un objeto es I CM , elteorema de ejes paralelos establece que el momento deinercia alrededor de cualquier eje paralelo a, y a unadistancia D, de dicho eje esI I MDCM2

3.3.- Teorema de ejes paralelos.DEsquema delTeorema de ejesparalelos para uncuerpo rígidoarbitrarioI I MDCM2

3.3.- Teorema de ejes paralelos. Ejemplos.Usando el teorema de ejes paralelos calcule elmomento de inercia, alrededor del eje mostrado, delsiguiente objeto:Disco de masa M y radio R

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