MATEMÁTICAS FINANCIERAS PARTE II PROBLEMAS - FCJS

Departamento de Economía Financiera y Contabilidad II (Matematicas Financieras)
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
PARTE II
PROBLEMAS
1. Sea una renta pospagable de cuantía a €, duración 12 años y tipo de interés constante,
cuyo valor actual es de 10.000 € y su valor final de 17.958,56 €. Calcular:
a) El tipo de interés aplicado
b) La cuantía a
2. Una persona desea vender un piso por el que recibe tres ofertas. El Sr. A ofrece 66.000 € al
contado. El Sr. B ofrece 13.200 € a la firma del contrato y 9.600 € al final de cada año,
durante 10 años. El Sr. C ofrece 9.000 € al principio de cada año, durante 15 años. ¿Cuál es
la oferta más interesante financieramente para el vendedor en los supuestos que los tipos de
valoración sean del 12%, 13% ó 14% anuales efectivos?
3. Una persona decide realizar las imposiciones necesarias de cuantía 150 € al final de cada
trimestre para que el montante, coincidiendo con el último ingreso sea de 2.000 €. El tanto de
interés aplicado es del 8% nominal anual.
a) Calcular el número de imposiciones necesarias.
b) Si no resultase un número exacto de entregas, la persona decide añadir una cierta
cantidad a la última imposición de 150 € con el fin de obtener el montante deseado.
Calcular dicha cantidad.
c) Si en lugar de lo anterior, la persona eligiese realizar un ingreso más un trimestre
después del ultimo de 150 €. ¿Qué cuantía debería ingresar para obtener el montante de
2.000 €?
4. Un negocio cuyo desembolso inicial es de 120.000 € produce unos ingresos de 6.500 € al
final de cada bimestre. Estos ingresos se depositan en una entidad bancaria al 12%
efectivo anual. Calcular la rentabilidad de la inversión al cabo de 4 años.
5. Una persona X realiza un desembolso inicial de 12.000 € para participar en un negocio
que le reportará unos beneficios de C € al final de cada año. Transcurridos 5 años vende el
negocio a otra persona Y que le paga un precio de P € . Este segundo inversor cobrara los
mismos ingresos al final de cada año y mantendrá el negocio durante los próximos 5 años,
momento en que lo vende por 12.000 €.
Supuesto que la rentabilidad de la persona X fue del 5% anual efectivo y la de la persona Y
del 6% anual efectivo, calcular:
a) La cuantía C.
b) El precio P.
6. Con el fin de disponer de 60.000 € al cumplir los 65 años, un individuo de 40 años decide
constituir un fondo con aportaciones semestrales de cuantía constante hasta cumplir los 60
años. El primer ingreso se realizará 6 meses después de cumplir los 40 años. Calcular la
cuantía de cada aportación si el tipo de interés ofrecido es del 5% nominal anual.
7. Un señor decide ingresar hoy 2.500 € y realizar este mismo ingreso cada año, efectuando
el último dentro de 5 años ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir desde el momento que hizo el
último ingreso hasta poder retirar de la cuenta 26.926,80 €, si el tipo de interés ofrecido es
del 10% efectivo anual durante toda la operación?
8. Cierta persona ingresa al inicio de cada año 600 € y a mitad de cada año 800 €. La entidad
financiera le aplica un tipo de interés del 8% anual efectivo. Si mantiene los ingresos durante
8 años, calcular:
a) El capital que habrá conseguido reunir al finalizar el octavo año.
b) La cuantía anual impuesta al comienzo de cada año con la que conseguiría el mismo
montante.
c) La cuantía anual impuesta al final de cada año con la que conseguiría el mismo
montante.
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9. La matrícula de ciertos estudios privados tienen dos modalidades de pago:
Pago al contado: 5.504'50 € al comienzo del curso académico.
Pago financiado: Realizar nueve pagos mensuales de 650 € al principio de cada mes,
satisfaciendo el primero al comenzar el curso.
Un estudiante que se matricule en este curso y no disponga de suficiente dinero en este
momento para efectuar el pago al contado, dispone de dos alternativas:
Primera alternativa: puede acogerse a la modalidad financiada.
Segunda alternativa: solicitar un préstamo de una entidad bancaria al 17,5% efectivo anual.
¿Cuál de las dos alternativas es preferible financieramente para el alumno?
10. Maria y Juan, a partes iguales, pretenden constituir entre ambos un montante al cabo de 9
años de 14.000 € mediante aportaciones al inicio de cada año de cuantía constante. La
entidad bancaria remunera sus depósitos a un interés del 6% anual efectivo.
Maria realizara las aportaciones al inicio de los años pares y Juan las de inicio de los años
impares, excepto la primera que la compartirán.
Calcular la cantidad que tendrán que abonar cada uno de ellos del primer ingreso
11. En estos momentos un señor ingresa en una entidad bancaria P € para tener derecho a
cobrar una renta trimestral constante de 750 €, cobrando la primera cuantía dentro de 3
años y la última dentro de 7 años. Si el tipo de interés ofrecido por la entidad es del 6%
efectivo anual, Calcular la cantidad ingresada hoy.
12. Una persona quiere devolver un préstamo de 45.000 € abonando al final de cada mes 210
€. E tipo de interés aplicado es del 6% nominal anual.
a) Calcular el número de pagos que tendrá que realizar.
b) ¿Y si el pago fuese de 225 €.
13. Hoy, 1 de junio, estudia la venta de un apartamento en la costa que proporciona todos los
años unos ingresos en concepto de alquiler cada 1 de julio, 1 de agosto y 1 de septiembre
de 1.500, 2.000 y 800 €, respectivamente. Calcular el valor actual de estos ingresos si la
valoración se efectúa a un tanto de interés del 10% efectivo anual.
14. Un persona realiza un único desembolso inicial para participar en un negocio que reporta
unos beneficios semestrales de 738 € al final del primer semestre e incrementándose en un
2% semestral acumulado dichos ingresos. La rentabilidad obtenida trascurridos 5 años por
el negocio es del 8% efectivo anual.
Las cantidades semestrales se ingresan en el momento que se reciben en un depósito
financiero remunerado al 5% efectivo anual, obteniéndose un montante de M € al cabo de 5
años. Calcular:
a) El desembolso inicial
b) El montante obtenido en el depósito financiero
c) La rentabilidad conjunta conseguida por el inversor.
15. Un señor decidió al nacer su hijo realizar un ingreso cada semestre. El primer ingreso,
realizado el día del nacimiento, fue de C € y fue aumentando esta cuantía semestralmente
en un 2% acumulativo hasta cumplir el hijo los 15 años (primera fecha que no realiza
ningún ingreso). Al cumplir los 18 años el hijo pudo retirar de la cuenta un montante de
36.000 €. Si el padre hubiera ingresado al nacer su hijo 12.421,17 €, en lugar de las
mensualidades de C €, el hijo hubiera podido retirar el mismo montante al cumplir los 18
años. Si el tipo de interés ofrecido fue constante durante los 18 años, calcular la cuantía de
la primera aportación.
16. Calcular que dinero deberá ingresarse en estos momentos en un depósito financiero para
tener derecho a retirar una renta perpetua bimestral cuya primera cuantía de 150 € se
retirara dentro de dos meses y éstas aumentarán en un 1,5% acumulado. El tipo de interés
ofrecido será:
a) El 10% nominal anual
b) El 9% nominal anual
c) El 8% nominal anual
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17. Una Sociedad de autores compra los derechos de autor de un libro por un precio de P € El
libro se escribió hace un año y tres meses y desde su comienzo la editorial ha venido
pagando al autor 5.750 € al final de cada semestre por dichos derechos.
Se espera que el próximo pago sea de 5.750 € pero que a partir de esos momentos los
ingresos disminuyan en un 4% respecto del semestre precedente
Determinar el precio de compra si la rentabilidad de la sociedad se espera que sea del 15%
anual efectivo.
18. Un negocio cuyo desembolso inicial fue 68.000 € ha producido unos ingresos de C € al final
de cada mes durante el primer año e incrementándose un 3% acumulado cada año dichos
ingresos. La rentabilidad obtenida en los 10 años que lleva funcionado el negocio ha sido
del 7% anual efectivo. Calcular la cuantía de los ingresos mensuales del primer año.
19. Un señor tiene previsto ingresar 200 € al inicio de cada mes durante el primer año,
aumentando estas aportaciones un 2% acumulativo anual.
Si este señor no realizase las aportaciones previstas al final de sexto mes de cada año,
determinar el montante alcanzado al cabo de 11 años siendo el tipo de interés ofrecido es
el 12% nominal anual.
20. Un inversor desea constituir un capital de 120.000 € transcurridos 9 años. Para ello,
ingresa una cuantía constante al inicio de cada mes en una entidad bancaria que capitaliza
sus aportaciones al 7% anual. Determinar:
a) La mensualidad constante que debe entregar.
b) Si transcurridos 5 años el banco eleva el tipo al 10% anual efectivo, la nueva cuantía
mensual que deberá aportarse a partir de ese momento para llegar a constituir el
mismo capital
c) El nuevo capital constituido si el banco eleva el tipo al 10% transcurridos 5 años y se
sigue aportando la misma mensualidad inicial.
21. ¿Dentro de cuanto tiempo podemos empezar a retirar 2.500 € anualmente durante 10
años, si ingresamos hoy una única cantidad de C=9.994,10 € en un banco que abona un
13% de interés efectivo anual?
22. En una línea de crédito sean realizado los siguientes reintegros {(100;0),(100;1),(100;3)}
y
las siguientes imposiciones {(250;2),( X ;4)}
. El tipo de interés (tanto acreedor y deudor)
aplicado es del 10% anual efectivo.
a) Calcular la cuantía X.
b) Representar el esquema dinámico de la reserva matemática de la operación
c) Calcular el saldo de la cuenta transcurridos dos años y medio (método retrospectivo y
prospectivo)
23. Un club gastronómico, formado por 16 miembros, realiza una comida al final de cada
trimestre. La comida supone unos gastos fijos de 1.000 €, más 120 € por comensal. Los
socios satisfacen una cuota de 90 € al principio de cada mes. Los excedentes de tesorería,
si los hubiera, están remunerados en una cuenta al 7% efectivo anual. Durante el año
asistieron a comer los 16 miembros a todas las comidas y en la última hubo invitados. Si su
objetivo era finalizar el año agotando el presupuesto, calcular:
a) Número de invitados en la última comida
b) El saldo de la cuenta transcurridos siete meses (una vez ingresadas todas cuotas del
ese mes).
24. Se amortiza un préstamo de 10.000 € mediante 10 pagos anuales constantes. El tipo de
interés aplicado es del 10% efectivo anual. Calcular
a) Termino amortizativo
b) Capital vivo al cabo de 3 años
c) Cuota de amortización del 4 año
d) Capital vivo transcurrido 3 años y 6 meses.
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25. Se concede un préstamo de 500.000 € al 9% nominal anual, para ser amortizado mediante
60 mensualidades de cuantía constante.
Transcurridos 3 años, el tipo de interés varía y pasa a ser el 12% nominal anual. El
prestatario decide abonar nueva mensualidad de cuantía constante de tal forma que no
varíe la duración de préstamo. Calcular:
a) El término amortizativo abonado inicialmente
b) El término amortizativo abonado después de la variación del tipo de interés
26. Se concede un préstamo de duración 15 años, principal 65.000 € y amortizable mediante
pagos trimestrales de cuantía constante. El tipo de interés pactado es del 8% nominal
anual.
Transcurridos 5 años, el deudor decide entregar C € para reducir el capital vivo de tal forma
que la duración del préstamo se reducirá en dos años y seguirá pagando la misma
trimestralidad que hasta ese momento. Calcular la cuantía C
27. A un señor le ofrecen dos opciones para devolver un préstamo de nominal 10.000 €.
Opción A: Pagar al final de cada semestre 400 € y al cabo de dos años pagar, además de
los 400 €, el nominal del préstamo.
Opción B: Pagar al final de cada trimestre 200 € y al cabo de dos años pagar, además de
los 200 €, el nominal del préstamo.
Calcular el tipo de interés anual efectivo constante aplicado en cada uno de los préstamos
28. Un préstamo de nominal 10.000 € se amortiza por el sistema americano en 10 años
mediante pagos semestrales al 15% efectivo anual. Determinar la deuda pendiente a los
tres años y nueve meses.
29. Un cliente pide en un banco un préstamo de 50.000 € a tres años con cuotas de
amortización trimestrales constantes y al 14% de interés nominal anual. Calcular:
a) La cuota de amortización
b) El capital vivo al cabo de 2 años
c) El termino amortizativo abonado al final del segundo año
30. Un préstamo de nominal 61.200 € se amortiza mediante cuotas de amortización
semestrales constantes, siendo el interés del 7% efectivo anual. Al cabo de 3 semestres el
capital vivo asciende a 42.840 €. Calcular la duración del préstamo
31. Un individuo tiene concedido un préstamo de 100.000 € a un tipo del 8% efectivo anual y
duración 4 años. Durante los dos primeros años acuerda pagar solamente los intereses. Al
final del tercer año además de los intereses pagará la mitad del nominal del préstamo y en
el último año amortizará la deuda pendiente mediante aportaciones trimestrales constantes.
Calcular el último término amortizativo
32. Hace 2 años y 9 meses se concedió un préstamo de importe 10.000 € a interés variable y 3
años de duración. Durante el primer año no se hizo pago alguno, siendo el tipo efectivo
anual que se aplicó el 8%. En el segundo año se abonaron sólo los intereses generados en
ese año y para el tercero se acordó efectuar 12 pagos mensuales con la misma cuota de
amortización. Calcular el capital vivo actual.
33. Hace 6 años se contrató un préstamo de principal Co € a tipo fijo del 9% nominal anual. El
término amortizativo trimestral es constante de a €. El capital vivo al final del quinto año
ascendía a 80.000 € y hoy es de 70.000 €. Calcular el principal del préstamo
34. Un señor pidió hace algún tiempo un préstamo a un tipo de interés fijo del 12% nominal
anual con términos amortizativos mensuales constantes.
En estos momentos faltan 2 años para su amortización y los tipos de interés han bajado al
10% efectivo anual, una vez renegociado su préstamo tiene que pagar a partir de estos
momentos mensualidades de 2.331,41 € durante los dos años restantes.
Calcular el término amortizativo mensual que ha venido pagando este señor hasta ahora.
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35. Un préstamo al que se le restaban por pagar 10 anualidades de 1525 € y que se pacto a un
interés del 7% anual efectivo, acaba de renegociarse en estos momentos las condiciones
pasando a amortizarse como un préstamo americano con pagos anuales. calcular el capital
vivo dentro 6 años y 3 meses.
36. A un señor se le concede un préstamo de duración 10 años y de nominal 100.000 € a un
tipo de interés del 12% efectivo anual. Los términos amortizativos anuales cubren
únicamente los intereses del año, excepto el último que además cancelará el préstamo.
Simultáneamente, este señor contrata un deposito financiero, que proporciona un 5%
efectivo anual, con aportaciones constantes de C € al final de cada mes, excepto al final de
cada año que no realiza el ingreso de C €, y además detrae de la cuenta el importe
necesario para pagar los intereses del préstamo. El primer ingreso se efectúa un mes
después de percibirse el principal del préstamo.
Calcular la cantidad C, de forma que el montante obtenido en la cuenta al cabo 10 años le
permita amortizar el préstamo.
37. Se concede un préstamo por importe de 20.000 € amortizable en 3 años mediante términos
semestrales variables en progresión geométrica de razón q = 1,05, a un tipo de interés
anual del 14% nominal. Calcular:
a) La cuantía del primer término amortizativo
b) El capital vivo al final del primer año
c) La cuota de amortización del tercer pago
d) La cuota de interés del tercer semestre.
38. En un préstamo de duración n años el tipo de interés es constante del 10% anual y el
término amortizativo es anual. Se sabe que durante los s primeros años la cuota de
amortización es constante de importe A y en los restantes años también es constante, pero
de importe A'. Se sabe que los términos amortizativos de los años 4º, 5º y 6º son
a
4
=142.000, a
5
=136.000 y a
6
=170.000
Calcular el capital vivo al final del año n-1
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SOLUCIONES:
1. a) 5% anual efectivo b) a = 1.128’25 €
2.
3. a) n =11’93 (Si realiza 11 imposiciones no conseguiría el montante y si realiza 12
imposiciones supera el montante deseado). b) 174’69 €. c) 138’19 €
4. El montante obtenido al cabo de 4 años en la cuenta es de 195.508’16 € y la
rentabilidad conjunta es el 12’9785% anual efectiva.
5. C = 651’91€ P = 11.713’17 €
6. 695’40 €
7. 3’5 años
8. a) 15.735’66 € b) 1369’80€ c) 1479’38 €
9. Es preferible la segunda alternativa ya que el tipo de interes aplicado en la modalidad
financiada es del 20’36% anual efectivo (calculado con ordenador) que es superior al
del préstamo, el 17’5% .
Si se optará por el préstamo y se abonasen nueve pagos prepagables mensuales,
estos sería de 645 €. Por tanto menores a los 650 € de la opcion financiado. Por tanto
es preferible la primera opcion.
10. Las aportaciones que tienen que realizar cada año son de 1149’35 €. El primer ingreso
de Maria será de 470,73 € y el primer ingreso de Juan de 678’61 €.
11. P = 9.551’82 €
12. a) Este prestamo nunca seria concedido ya que al abonar 210 € mensuales no cubre
los intereses de cada mes, por tanto el capital pendiente será cada vez mayor.
b) Si abonase 225 € unicamente estaria pagando los intereses de cada mes. Por tanto
el prestamo no se amortizaria nunca.
13. 46.615’55 €
14. a) 6.538 € b) 9.004’73 € c) i=6’6107% anual efectiva.
15. El tipo de interes ofrecido ha sido del 6’09% anual efectivo o del 3% semestral efectivo.
La primer ingreso realizado fue de 475,26 €.
16. a) 90.000 €. b) ∞ € (Aunque ingresemos cualquier cuantia, por grande que sea no
tendremos derecho a retirar una renta perpetua con la caracteristicas descritas.
c) ∞ € (similar al apartado anterior)
17. P = 52.984’79 €
18. C = 693’46 €
19. 54.449’20 €
20. a) 804’66 € b) 607’67 € c) 131.557’02
21. 3,5 años
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22. a) X = 87’01 € c) -19,9274 €
23. a) 49 invitados (y además sobran 66’15 €) b) 5.827’46 €
24. a) 1.627’45 € b) 7.923’13 € c) 835’14 € d) 8.309’85 €
25. a) 10.379’18 € b) 10.694’68 € (Capital vivo al cabo de 36 meses es de 227.191’34)
26. 7.268’64 € (La trimestralidad que paga es de 1869’92 €)
27. Ambas opciones se tratan de sistemas de amortización americano. El tipo de interes de
la opcion A es el 4% semestral efectivo que equivale a un 8,16% anual efectivo. El tipo
de interés de la opcion B es el 2% trimestral efectivo que equivales a un 8’243216%
anual efectivo.
28. 10.335,58 €
29. a) A = 4.166,67 € b) 16.666,67 € c) 4.895’83 €
30. La duracion del préstamo es 10 semestres (La cuota de amortización es 6.120 €)
31. 13.112’92 €
32. 2.700 € (La deuda pendiente al final del primer año es de 10.800 € y la segundo año
también ya que abona los intereses de ese año. La cuota de amortización mensual
durante el tercer año sera A=900 €).
33. 118.587’31 € (La trimestralidad pagada es de 4217’19 €)
34. La mensualidad abonada hasta hoy y que hubiese seguido pagando si no hubiese
variado el tipo de interes es de 2.388’61 €
35. 10.893’67 € (la deuda en el momento de la negociación es de 10.710’96 €)
36. 1769’82 €
37. a) 3.737’00 € b) 14.975’56 € c) 3.071’76 € d) 1.048’29 €
38. La deuda pendiente es de 100.000 € (Durante los 5 primeros años se pagado una
cuota de amortización de A = 60.000 € y durante el resto de años de A’ = 100.000 €)
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