Flujo geodésico de Anosov y en variedades sin puntos conjugados
Flujo geodésico de Anosov y en variedades sin puntos conjugados
Flujo geodésico de Anosov y en variedades sin puntos conjugados
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
FLUJO GEODÉSICO DE ANOSOV Y EN VARIEDADES SIN<br />
PUNTOS CONJUGADOS<br />
DONNIE DARKO<br />
Abstract. La i<strong>de</strong>a es estudiar algunos resultados <strong>de</strong> los flujos geo<strong>de</strong>sicos <strong>de</strong><br />
<strong>Anosov</strong> p<strong>en</strong>sando <strong>en</strong> <strong>en</strong>t<strong>en</strong><strong>de</strong>r el resultado principal <strong>de</strong> [MP] y ver que pue<strong>de</strong><br />
valer <strong>en</strong> dim<strong>en</strong>siones mayores. En particular, ver que <strong>en</strong> varieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> curvatura<br />
negativa el flujo geo<strong>de</strong>sico es <strong>de</strong> <strong>Anosov</strong> y ver que una metrica para la cual el flujo<br />
geo<strong>de</strong>sico es <strong>de</strong> <strong>Anosov</strong> no ti<strong>en</strong>e <strong>puntos</strong> <strong>conjugados</strong>. Todo esto, <strong>sin</strong> usar til<strong>de</strong>s!!<br />
1. Curvatura y campos <strong>de</strong> Jacobi.<br />
Empezamos con repaso <strong>de</strong> esto por las <strong>de</strong>udas.<br />
El t<strong>en</strong>sor <strong>de</strong> curvatura R : X (M) × X (M) × X (M) → X (M) dado por:<br />
R(X, Y )Z = ∇ Y ∇ X Z − ∇ X ∇ Y Z + ∇ [X,Y ] Z<br />
Lo bu<strong>en</strong>o que ti<strong>en</strong>e este t<strong>en</strong>sor es que es lineal al multiplicar por funciones <strong>en</strong> cada<br />
una <strong>de</strong> sus variables si fijamos el resto (je, esto es que sea un t<strong>en</strong>sor <strong>en</strong> realidad).<br />
Es <strong>de</strong>cir:<br />
R(fX 1 + gX 2 , Y )Z = fR(X 1 , Y )Z + gR(X 2 , Y )Z<br />
y lo mismo vale <strong>en</strong> las otras dos variables. Esto, <strong>en</strong>tre otras cosas implica que el<br />
valor <strong>de</strong> R(X, Y )Z <strong>en</strong> p <strong>de</strong>p<strong>en</strong><strong>de</strong> unicam<strong>en</strong>te <strong>de</strong> X(p), Y (p), Z(p).<br />
Remark 1. Esto tb implica que si t<strong>en</strong>emos una funcion <strong>de</strong>l tipo J(t) ↦→ R(V (t), J(t))V (t)<br />
(don<strong>de</strong> J, V son campos sobre una curva γ) se cumple que el mapa es lo mismo que<br />
poner J(t) ↦→ K(t)J(t) don<strong>de</strong> K(t) : T γ(t) M → T γ(t) M es una transformacion lineal.<br />
Po<strong>de</strong>mos <strong>en</strong>tonces <strong>de</strong>finir la curvatura seccional que va a <strong>de</strong>p<strong>en</strong><strong>de</strong>r <strong>en</strong>tonces unicam<strong>en</strong>te<br />
<strong>de</strong>l plano que g<strong>en</strong>eran los vectores don<strong>de</strong> esta <strong>de</strong>finida. Sea σ ⊂ T p M,<br />
<strong>de</strong>finimos<br />
rpotrie@cmat.edu.uy; Version un poco retocada, <strong>en</strong> particular agregada una prueba <strong>en</strong> la ultima<br />
seccion para superficies. 21/11/2008.<br />
1
2 DONNIE DARKO<br />
K p (σ) =<br />
〈R(X, Y )X, Y 〉<br />
|X| 2 |Y | 2 − 〈X, Y 〉 2<br />
Las curvaturas seccionales <strong>en</strong> cada punto <strong>de</strong>terminan unicam<strong>en</strong>te al t<strong>en</strong>sor <strong>de</strong> curvatura<br />
1 . Otra cosa importante, vinculada con la observacion <strong>de</strong> arriba es que si consi<strong>de</strong>ras<br />
a la transformacion lineal K(t) : T γ(t) M → T γ(t) M con una base ortonormal<br />
que cont<strong>en</strong>ga a V (t) ({V (t), e 2 , . . . e n }, estamos suponi<strong>en</strong>do que V (t) ti<strong>en</strong>e norma 1)<br />
<strong>en</strong>tonces, la matriz K(t) = (k ij ) ij cumplira que k 11 = 0 y que k ii = K p (e i , V ). En<br />
principio no conocemos los valores <strong>de</strong> k ij con i ≠ j.<br />
Una curiosidad (ejercicio 8 <strong>de</strong>l cap 4 <strong>de</strong> [dC]) es que si K p (σ) no <strong>de</strong>p<strong>en</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong>l<br />
subespacio σ ⊂ T p M (con dim(M) ≥ 3) <strong>en</strong> ninguno <strong>de</strong> los <strong>puntos</strong> <strong>de</strong> M <strong>en</strong>tonces<br />
se ha <strong>de</strong> cumplir que tampoco <strong>de</strong>p<strong>en</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong>l punto p! es <strong>de</strong>cir, la variedad es <strong>de</strong><br />
curvatura seccional constante. Es facil construir contraejemplos <strong>en</strong> superficies, <strong>de</strong><br />
todas maneras, toda superficie admite una metrica <strong>de</strong> curvatura constante.<br />
Lo primero que vamos a probar es el sigui<strong>en</strong>te Lema:<br />
Lema 1. Una variedad ti<strong>en</strong>e curvatura seccional constante igual a K 0 si y solo si<br />
〈R(X, Y )W, Z〉 = K 0 (〈X, W 〉〈Y, Z〉 − 〈Y, W 〉〈X, Z〉).<br />
Demostracion . El reciproco sale facil (observar que esa cu<strong>en</strong>ta da que 〈R(X, Y )X, Y 〉 =<br />
K 0 (|X| 2 |Y | 2 − 〈X, Y 〉 2 )).<br />
El directo tb es s<strong>en</strong>cillo porque basta ver que las curvaturas seccionales cumpl<strong>en</strong> la<br />
relacion (ya com<strong>en</strong>tamos que todas las curvaturas seccionales <strong>de</strong>terminan el t<strong>en</strong>sor<br />
<strong>de</strong> curvatura). Entonces, como la curvatura seccional es constante, queda:<br />
〈R(X, Y )X, Y 〉<br />
|X| 2 |Y | 2 − 〈X, Y 〉 2 = K 0<br />
con eso se prueba que las curvaturas seccionales son iguales, basta ver se verifican<br />
las propieda<strong>de</strong>s que hac<strong>en</strong> que lo que <strong>de</strong>finimos sea una curvatura.<br />
□<br />
Corolario 1. Si M ti<strong>en</strong>e curvaturas seccionales constantes iguales a K, |V | = 1 y<br />
J ⊥ V <strong>en</strong>tonces se cumple que el mapa J ↦→ R(V, J)V es el mismo que J ↦→ KJ.<br />
1 Precisam<strong>en</strong>te, si un operador A = {A p : T p M 4 → R} p∈M verifica las propieda<strong>de</strong>s (a)<br />
A p (X, Y, Z, T ) + A p (Y, Z, X, T ) + A p (Z, X, Y, T ) = 0, (b) A p (X, Y, Z, T ) = −A p (Y, X, Z, T ) (c)<br />
A p (X, Y, Z, T ) = A p (Z, T, X, Y ) y se cumple que A p (X, Y, X, Y ) = K p (X, Y )(|X| 2 |Y | 2 − 〈X, Y 〉 2 )<br />
para todo p, X, Y <strong>en</strong>tonces, A(X, Y, Z, W ) = 〈R(X, Y )Z, W 〉.
FLUJO GEODÉSICO DE ANOSOV Y EN VARIEDADES SIN PUNTOS CONJUGADOS 3<br />
Demostracion . Sea W un campo, <strong>en</strong>tonces, 〈R(V, J)V, W 〉 = K(〈V, V 〉〈J, T 〉 −<br />
〈V, T 〉〈J, V 〉) = K〈J, K〉.<br />
□<br />
Los campos <strong>de</strong> Jacobi, que es lo otro que vamos a <strong>de</strong>finir <strong>en</strong> esta seccion, son<br />
campos <strong>de</strong>finidos <strong>en</strong> una geo<strong>de</strong>sica γ(t) a partir <strong>de</strong> la sigui<strong>en</strong>te ecuacion difer<strong>en</strong>cial:<br />
J ′′ (t) + R(γ ′ (t), J(t))γ ′ (t)<br />
que por la observacion que hicimos se pue<strong>de</strong> escribir tb como J ′′ (t)+K(t)J(t) = 0<br />
que lo muestra mejor como ecuacion difer<strong>en</strong>cial lineal <strong>de</strong> segundo or<strong>de</strong>n. Una manera<br />
igualm<strong>en</strong>te relevante (y equival<strong>en</strong>te) <strong>de</strong> ver los campos <strong>de</strong> Jacobi es la sigui<strong>en</strong>te: sea<br />
f : [0, 1] × (−ε, ε) → M dada por f(t, s) = exp p (tv(s)) don<strong>de</strong> v : (−ε, ε) → T p M<br />
y cumple v(0) = γ ′ (0), v ′ (0) = W <strong>en</strong>tonces se cumple que J(t) = ∂ f(t, 0) es un<br />
∂s<br />
campo <strong>de</strong> Jacobi. De hecho, todo campo <strong>de</strong> Jacobi con J(0) = 0 y J ′ (0) = W se<br />
escribe como<br />
J(t) = (<strong>de</strong>xp p ) tγ ′ (0)(tW )<br />
Para hacer el caso g<strong>en</strong>eral, hay que tomar f(s, t) = exp α(s) (tv(s)) don<strong>de</strong> α ′ (0) =<br />
J(0) y v ′ (0) = J ′ (0) <strong>en</strong>tonces J(t) = ∂ f(t, 0) es el que se busca.<br />
∂s<br />
Si γ es una geo<strong>de</strong>sica, po<strong>de</strong>mos <strong>en</strong>contrar vectores {e 2 (t), . . . , e n (t)} paralelos que<br />
hagan una b.o.n. con γ ′ (t) y escribir el campo J(t) = ∑ i f i(t)e i (t) (no nos interesan<br />
los campos con compon<strong>en</strong>tes <strong>en</strong> γ ′ (t), a<strong>de</strong>mas, los otros si arrancan normales a γ ′ (0)<br />
se manti<strong>en</strong><strong>en</strong> asi) <strong>en</strong>tonces t<strong>en</strong>emos que la ecuacion es equival<strong>en</strong>te a<br />
f ′′<br />
j (t) + ∑ i<br />
a ij (t)f i (t) = 0<br />
j = 2, . . . n<br />
don<strong>de</strong> a ij = 〈R(γ ′ (0), e i )γ ′ (0), e j 〉.<br />
En curvatura constante es facil hallar los campos <strong>de</strong> Jacobi ya que la ecuacion<br />
queda J ′′ + KJ = 0. Sea γ(t) una geo<strong>de</strong>sica y w(t) un campo paralelo <strong>de</strong> norma<br />
1 y perp<strong>en</strong>dicular a γ ′ (t), <strong>en</strong>tonces, el campo <strong>de</strong> Jacobi con condiciones iniciales<br />
J(0) = 0 y J ′ (0) = w(0) sale <strong>de</strong> resolver la ecuacion <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n 2 real f ′′ + kf = 0 con<br />
condiciones iniciales f(0) = 0 y f ′ (0) = 1 que esta dado por<br />
{<br />
f ′ = g<br />
g ′ = −kf<br />
los valores propios son ± √ K con lo cual t<strong>en</strong>emos que la solucion es
4 DONNIE DARKO<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
J(t) =<br />
⎪⎩<br />
<strong>sin</strong>(t √ K)w(t)<br />
√<br />
K<br />
si K > 0<br />
tw(t) si K = 0<br />
e t√ |K| −e −t√ |K|<br />
2 √ |K|<br />
si K < 0<br />
Esto no da todos los campos <strong>de</strong> Jacobi (<strong>de</strong> hecho, los campos <strong>de</strong> Jacobi ortonormales<br />
a γ ′ (t) son un espacio vectorial <strong>de</strong> dim<strong>en</strong>sion 2n−2 y esta construccion nos da<br />
solo n−1) pero nos da para lo que vamos a necesitar que son campos que arranqu<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> un vector <strong>de</strong> norma 1 y se anul<strong>en</strong> <strong>en</strong> tiempo T <strong>en</strong> varieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> curvatura negativa.<br />
Esto es porque <strong>en</strong> la tercera formula (<strong>en</strong> la segunda tb) se ve que los campos<br />
se anulan solo <strong>en</strong> un punto. Esto motiva la <strong>de</strong>finicion <strong>de</strong> <strong>puntos</strong> <strong>conjugados</strong>.<br />
2. Puntos Conjugados<br />
Dada una geo<strong>de</strong>sica γ : [0, a] → M <strong>de</strong>cimos que γ(t 0 ) es conjugado a γ(0) a lo<br />
largo <strong>de</strong> γ (t 0 ∈ (0, a]) si existe un campo <strong>de</strong> Jacobi J no i<strong>de</strong>nticam<strong>en</strong>te nulo tal que<br />
J(0) = J(t 0 ) = 0. El numero maximo <strong>de</strong> dichos campos linealm<strong>en</strong>te in<strong>de</strong>p<strong>en</strong>di<strong>en</strong>tes<br />
(que no pue<strong>de</strong>n ser mas que n − 1) se llama la multiplicidad <strong>de</strong> γ(t 0 ) como punto<br />
conjugado a γ(0).<br />
Cuando hay <strong>puntos</strong> <strong>conjugados</strong> se ti<strong>en</strong>e que ahi el mapa expon<strong>en</strong>cial <strong>de</strong>ja <strong>de</strong> ser<br />
un difeo local. Cuando no hay <strong>puntos</strong> <strong>conjugados</strong>, se cumple <strong>en</strong>tonces que el cubrimi<strong>en</strong>to<br />
universal ti<strong>en</strong>e que ser R n pues queda que la expon<strong>en</strong>cial es un cubrimi<strong>en</strong>to.<br />
En particular, esto muestra que <strong>en</strong> S n toda metrica ha <strong>de</strong> t<strong>en</strong>er <strong>puntos</strong> <strong>conjugados</strong>.<br />
En g<strong>en</strong>eral, nos va a interesar estudiar si una variedad ti<strong>en</strong>e o no <strong>puntos</strong> <strong>conjugados</strong>.<br />
Por lo tanto, nos van a interesar condiciones que asegur<strong>en</strong> que una variedad<br />
no ti<strong>en</strong>e <strong>puntos</strong> <strong>conjugados</strong>. Una condicion es por ejemplo que haiga una unica<br />
geo<strong>de</strong>sica cerrada por clase <strong>de</strong> homotopia no trivial.<br />
Otra manera <strong>de</strong> estudiar la exist<strong>en</strong>cia o no <strong>de</strong> <strong>puntos</strong> <strong>conjugados</strong> es mediante<br />
teoremas <strong>de</strong> comparacion. De hecho, como la ecuacion <strong>de</strong> Jacobi es una ecuacion<br />
difer<strong>en</strong>cial lineal <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n dos, si po<strong>de</strong>mos compararla con otra ecuacion <strong>de</strong> solucion<br />
mas simple y tal que sepamos (por ejemplo) que las soluciones son m<strong>en</strong>ores y nunca<br />
se anula, t<strong>en</strong>dremos una manera <strong>de</strong> probar que nuestra variedad no posee <strong>puntos</strong><br />
<strong>conjugados</strong>.<br />
Primero <strong>en</strong>unciamos un Teorema <strong>de</strong> comparacion, llamado <strong>de</strong> Sturm-Liouville que<br />
permite comparar ecuaciones difer<strong>en</strong>ciales <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n 2, pero reales.<br />
Teorema 1. Sean K 1 : [0, a] → R y K 2 : [0, a] → R funciones continuas tales<br />
que K 1 (t) ≤ K 2 (t) ∀t ∈ (0, a). Sean f 1 (t) y f 2 (t) soluciones <strong>de</strong> las ecuaciones
FLUJO GEODÉSICO DE ANOSOV Y EN VARIEDADES SIN PUNTOS CONJUGADOS 5<br />
f ′′ (t) + K 1 (t)f(t) = 0 y f ′′ (t) + K 1 (t)f(t) = 0 respectivam<strong>en</strong>te tales que f 1 (0) =<br />
f 2 (0) = 0 y f ′ 1(0) = f ′ 2(0). Entonces, f 1 (t) ≥ f 2 (t) para todo t ∈ (0, a).<br />
Este teorema no es nada dificil <strong>de</strong> probar, y es bi<strong>en</strong> util para estudiar campos <strong>de</strong><br />
Jacobi <strong>en</strong> superficies, ya que la dim<strong>en</strong>sion <strong>de</strong> los campos <strong>de</strong> Jacobi <strong>en</strong> superficies<br />
normales a γ ′ y que arrancan <strong>en</strong> 0 ti<strong>en</strong><strong>en</strong> dim<strong>en</strong>sion 1. En particular, <strong>sin</strong> problema<br />
se prueba que <strong>en</strong> una superficie con curvatura no positiva no pue<strong>de</strong> haber <strong>puntos</strong><br />
<strong>conjugados</strong> (esto sale <strong>de</strong> comparar con la ecuacion <strong>de</strong> Jacobi <strong>en</strong> curvatura constante<br />
igual a 0 que no los ti<strong>en</strong>e).<br />
El teorema <strong>de</strong> Sturm Liouville se g<strong>en</strong>eraliza al sigui<strong>en</strong>te teorema que permite<br />
obt<strong>en</strong>er las mismas conclusiones <strong>en</strong> varieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> dim<strong>en</strong>sion arbitraria.<br />
Teorema 2 (Rauch [dC]). Sean γ : [0, a] → M n y ˜γ : [0, a] → N n+k con k ≥ 0,<br />
geo<strong>de</strong>sicas <strong>de</strong> velocidad unitaria. Sean J y ˜J campos <strong>de</strong> Jacobi a lo largo <strong>de</strong> ellas<br />
normales a la velocidad <strong>de</strong> la geo<strong>de</strong>sica y verificando J(0) = ˜J(0) = 0 y |J ′ (0)| =<br />
| ˜J ′ (0)|. Supongamos que ˜γ no posee <strong>puntos</strong> <strong>conjugados</strong> <strong>en</strong> (0, a] y que para todo<br />
t ∈ (0, a] y todo v ∈ T γ(t) M, ṽ ∈ T˜γ(t) N se cumple ˜K(ṽ, ˜γ ′ (t)) ≥ K(v, γ ′ (t)) <strong>en</strong>tonces<br />
| ˜J(t)| ≤ |J(t)|.<br />
3. Campos <strong>de</strong> Jacobi A<strong>sin</strong>toticos<br />
La i<strong>de</strong>a es la sigui<strong>en</strong>te, queremos estudiar el flujo geo<strong>de</strong>sico <strong>de</strong> <strong>Anosov</strong>, <strong>en</strong>tonces<br />
<strong>de</strong>bemos buscar subespacios tang<strong>en</strong>tes que por el flujo geo<strong>de</strong>sico <strong>de</strong>crezcan expon<strong>en</strong>cialm<strong>en</strong>te<br />
o crezcan <strong>de</strong> esta manera. Para eso, si asumimos que la variedad <strong>en</strong><br />
la que estamos trabajando no ti<strong>en</strong>e <strong>puntos</strong> <strong>conjugados</strong>, vamos a po<strong>de</strong>r tomar “limites”<br />
<strong>de</strong> campos <strong>de</strong> Jacobi que arranqu<strong>en</strong> <strong>de</strong> norma uno y se hagan cero <strong>en</strong> tiempo<br />
T . Al hacer t<strong>en</strong><strong>de</strong>r T a mas o m<strong>en</strong>os infinito conseguiremos campos que no se anul<strong>en</strong><br />
nunca. A estos les llamaremos campos <strong>de</strong> Jacobi a<strong>sin</strong>toticos, para no hacerse<br />
i<strong>de</strong>as equivocadas, vale la p<strong>en</strong>a t<strong>en</strong>er <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta el caso <strong>de</strong>l espacio eucli<strong>de</strong>o don<strong>de</strong><br />
los campos <strong>de</strong> Jacobi a<strong>sin</strong>toticos son campos constantes (paralelos <strong>de</strong> norma constante).<br />
Igual nosotros estaremos “buscando” cosas mas similares al caso <strong>de</strong>l disco<br />
hiperbolico don<strong>de</strong> estos campos seran <strong>de</strong> la forma e at w(t) don<strong>de</strong> w es un campo<br />
paralelo.<br />
Primero, nos sera util el sigui<strong>en</strong>te lema que nos permite <strong>en</strong>contrar esos campos<br />
que arranqu<strong>en</strong> <strong>en</strong> cierto lugar y se hagan 0 <strong>en</strong> tiempo T .
6 DONNIE DARKO<br />
Lema 2. Sea (M, g) una variedad riemanniana completa y γ : R → M una<br />
geo<strong>de</strong>sica. Entonces, si γ(0) no es conjugado a γ(a) con a > 0 existe un isomorfismo<br />
<strong>en</strong>tre los campos <strong>de</strong> Jacobi sobre γ <strong>de</strong>finidos <strong>en</strong> [0, a] y el espacio vectorial<br />
T γ(0) M × T γ(a) M dado por la correspon<strong>de</strong>ncia J → (J(0), J(a)).<br />
Demostracion . La prueba es muy facil pues el conjunto <strong>de</strong> campos <strong>de</strong> Jacobi<br />
<strong>en</strong> γ([0, a]) es un espacio vectorial (es una ecuacion difer<strong>en</strong>cial lineal) y dado que<br />
γ(0) y γ(a) no son <strong>conjugados</strong> es una transformacion lineal inyectiva. Ahora, por<br />
dim<strong>en</strong>siones, es un isomorfismo.<br />
□<br />
Definimos ahora los campos J V T como campos tal que J V T (0) = V y J V T (T ) =<br />
0. Claram<strong>en</strong>te, si se <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tran sobre una geo<strong>de</strong>sica <strong>sin</strong> <strong>puntos</strong> <strong>conjugados</strong> estos<br />
campos ti<strong>en</strong><strong>en</strong> total s<strong>en</strong>tido (<strong>sin</strong>o igual ti<strong>en</strong><strong>en</strong> s<strong>en</strong>tido cuando γ(T ) no es conjugado<br />
a γ(0) pero no nos complicamos y suponemos que no hay <strong>puntos</strong> <strong>conjugados</strong>).<br />
Teorema 3. JT V (t) converge con T → +∞ a un campo J + V<br />
(t) que no se anula nunca.<br />
Demostracion . Creo que basta con ver que si 0 < t < T < T ′ <strong>en</strong>tonces se<br />
cumple que |JT V (t)| ≤ |J T V ′(t)|. Esto seguro implica que si el limite existe no se anula<br />
<strong>en</strong> tiempos positivos. Para tiempos negativos tampoco se va a anular pues habria<br />
<strong>puntos</strong> <strong>conjugados</strong> 2 . Lo que hay que ver <strong>en</strong>tonces es que la cosa converge. Esto<br />
se va a cumplir si las JT V (t) estan uniformem<strong>en</strong>te acotadas <strong>en</strong>tre 0 y T porque va a<br />
permitir tomar limite dado que es sucesion creci<strong>en</strong>te <strong>de</strong> funciones (a<strong>de</strong>mas va a ser<br />
solucion porque se pue<strong>de</strong> utilizar tb Arzela-Ascoli).<br />
La acotacion uniforme ti<strong>en</strong>e que ver con la llamada ecuacion <strong>de</strong> Riccati asociada a<br />
la ecuacion <strong>de</strong> Jacobi, esta es u ′ (t)+u 2 (t)+K(t) = 0 (esta forma es para superficies,<br />
<strong>en</strong> dim<strong>en</strong>siones mayores toma forma matricial). Esta ecuacion se cumple siempre<br />
para u(t) = f ′ (t)<br />
don<strong>de</strong> J(t) = f(t)w(t) es un campo <strong>de</strong> Jacobi y w(t) un campo<br />
f(t)<br />
paralelo perp<strong>en</strong>dicular a γ ′ (t) (aca esta el tema que si no es superficies no vale,<br />
si bi<strong>en</strong> vas a po<strong>de</strong>r escribir el campo <strong>de</strong> Jacobi <strong>de</strong> esa manera con un campo w(t)<br />
siempre perp<strong>en</strong>dicular a γ ′ (t), este no necesariam<strong>en</strong>te va a ser paralelo). Claram<strong>en</strong>te,<br />
2 En el caso <strong>de</strong> superficies estas cosas son bi<strong>en</strong> triviales, porque te tomas la resta, que tb es un<br />
campo <strong>de</strong> Jacobi y sabes que no se vuelve a anular <strong>en</strong>tonces, t<strong>en</strong>es que uno es mayor que otro a<br />
partir <strong>de</strong> 0 y el otro mayor antes. En el pasado no se va a anular porque si se anulara, lo t<strong>en</strong>dria<br />
que hacer con <strong>de</strong>rivada no nula, <strong>en</strong>tonces, para algun J T se anularia violando la no exist<strong>en</strong>cia <strong>de</strong><br />
<strong>puntos</strong> <strong>conjugados</strong>. En dim<strong>en</strong>siones mayores se complica porque las normas se pue<strong>de</strong>n “cruzar”<br />
<strong>sin</strong> que los campos coincidan.
FLUJO GEODÉSICO DE ANOSOV Y EN VARIEDADES SIN PUNTOS CONJUGADOS 7<br />
cuando f(t) = 0, u no esta <strong>de</strong>finida, pero si no hay <strong>puntos</strong> <strong>conjugados</strong> eso pasa a<br />
lo sumo una vez. Si J ′ no es <strong>de</strong>masiado gran<strong>de</strong> claram<strong>en</strong>te la u rapidam<strong>en</strong>te va a<br />
estabilizarse luego <strong>de</strong> que que pase un tiempito razonable. De hecho, lo que vale es<br />
que <strong>en</strong> una variedad compacta (<strong>en</strong> realidad, si |K(t)| < K 0 ) existe un valor L <strong>de</strong><br />
forma tal que si u ti<strong>en</strong>e a<strong>sin</strong>tota <strong>en</strong> t 0 <strong>en</strong>tonces |u(t)| < L cuando |t − t 0 | > 1.<br />
Entonces, dado a, para cualquier T > a + 2 se cumple que J ′ T (t) ≤ LJ T (t) para<br />
todo t ∈ [0, a], usando la <strong>de</strong>sigualdad <strong>de</strong> gronwall t<strong>en</strong>emos que J T (t) ≤ J T (0)e Lt con<br />
lo cual t<strong>en</strong>emos la acotacion uniforme y vamos a t<strong>en</strong>er la converg<strong>en</strong>cia buscada.<br />
□<br />
4. Propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l flujo geo<strong>de</strong>sico<br />
En esta seccion vamos a trabajar dos propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l flujo geo<strong>de</strong>sico para probar<br />
los dos teoremas que motivan escribir esto.<br />
Lo primero, es ver como actua el difer<strong>en</strong>cial <strong>de</strong>l flujo geo<strong>de</strong>sico <strong>en</strong> el tang<strong>en</strong>te al<br />
tang<strong>en</strong>te unitario <strong>de</strong> la variedad, para eso, vamos a i<strong>de</strong>ntificar <strong>en</strong> este un subespacio<br />
horizontal y uno vertical que i<strong>de</strong>ntificaremos con el tang<strong>en</strong>te a la variedad (o pedazo<br />
<strong>en</strong> el caso <strong>de</strong>l vertical) e veremos como es posible relacionar esta i<strong>de</strong>ntificacion con<br />
los campos <strong>de</strong> Jacobi y <strong>en</strong>contrar una propiedad interesante que vincula el difer<strong>en</strong>cial<br />
<strong>de</strong>l flujo geo<strong>de</strong>sico con los campos <strong>de</strong> Jacobi. Tambi<strong>en</strong>, vamos a estudiar un poco<br />
como el flujo geo<strong>de</strong>sico preserva una forma <strong>de</strong> volum<strong>en</strong>, con lo cual <strong>de</strong>duciremos<br />
rapidam<strong>en</strong>te que el conjunto limite <strong>de</strong>l flujo geo<strong>de</strong>sico ha <strong>de</strong> ser todo el fibrado<br />
unitario (<strong>en</strong> particular, si es anosov, es transitivo 3 .<br />
Dps, vamos a “probar” que un flujo geo<strong>de</strong>sico no admite una seccion transversal<br />
global. Esto aparece <strong>en</strong> g<strong>en</strong>eral probado utilizando tecnicas “feas”, pero voy a tratar<br />
<strong>de</strong> emular una prueba que me conto Matil<strong>de</strong> que es (para mi) mucho mas ilustrativa<br />
y bonita (claro que me si<strong>en</strong>to mas que capaz <strong>de</strong> hacerla parecer mas fea que las otras<br />
dps <strong>de</strong> escribirla).<br />
4.1. Campos <strong>de</strong> Jacobi y el <strong>Flujo</strong> Geo<strong>de</strong>sico. Sea <strong>en</strong>tonces (M, g) una variedad<br />
Riemanniana compacta <strong>de</strong> dim<strong>en</strong>sion n. Sea T 1 M su fibrado tang<strong>en</strong>te unitario, que<br />
sera una variedad tambi<strong>en</strong> compacta <strong>de</strong> dim<strong>en</strong>sion 2n − 1. Como fibrado que es,<br />
posee una proyeccion natural a su base, M, dada por π(p, v) = p. Esta proyeccion<br />
da una i<strong>de</strong>a <strong>de</strong> cuando algo se <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tra movi<strong>en</strong>dose por la fibra, y cuando por la<br />
base. Es claro que KerD (p,v) π es el conjunto <strong>de</strong> vectores <strong>de</strong> T (p,v) T 1 M tang<strong>en</strong>tes a<br />
3 Por ejemplo, el flujo geo<strong>de</strong>sico <strong>en</strong> la esfera es nada transitivo, pero todas sus orbitas son<br />
periodicas.
8 DONNIE DARKO<br />
curvas que se muev<strong>en</strong> tang<strong>en</strong>te a las fibras (es facil ver que ese nucleo es igual a T p M<br />
<strong>en</strong> el caso que tomemos π <strong>en</strong> todo el fibrado tang<strong>en</strong>te, <strong>sin</strong>o ya no es tan inmediato<br />
<strong>de</strong> i<strong>de</strong>ntificar, pero tampoco tan dificil, es simplem<strong>en</strong>te el subespacio ortogonal a<br />
v <strong>en</strong> T p M). Haci<strong>en</strong>donos una imag<strong>en</strong> <strong>de</strong> que el fibrado tang<strong>en</strong>te es una especie <strong>de</strong><br />
producto, llamaremos a las curvas que se muev<strong>en</strong> <strong>en</strong> las fibras verticales (curvas <strong>de</strong><br />
la forma (p, v(t))). Claro esta, que si bi<strong>en</strong> t<strong>en</strong>emos bi<strong>en</strong> <strong>de</strong>finida una proyeccion<br />
siempre, no siempre t<strong>en</strong>emos una manera “canonica” <strong>de</strong> <strong>de</strong>cir que una curva se<br />
mueve horizontalm<strong>en</strong>te, pues <strong>de</strong>p<strong>en</strong><strong>de</strong>ra <strong>de</strong> la carta trivializadora <strong>de</strong>l fibrado. Es<br />
por eso, que para <strong>de</strong>finir curvas horizontales es necesario que utilicemos la coneccion<br />
<strong>de</strong> Levi-Civita 4 .<br />
Definimos <strong>en</strong>tonces, el operador conexion, K : T T M → T M dado por K(Z) =<br />
∇ α ′ (0)V (0) don<strong>de</strong> Z = d dt | t=0(α(t), V (t)) que es facil ver no <strong>de</strong>p<strong>en</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> la curva<br />
tang<strong>en</strong>te a Z que consi<strong>de</strong>remos. K (p,v) es el operador restricto a T (p,v) T M. La i<strong>de</strong>a<br />
es que los vectores tales que K da 0 cumpl<strong>en</strong> que son tang<strong>en</strong>tes a curvas con vectores<br />
arriba transladandose paralelam<strong>en</strong>te (esto permite i<strong>de</strong>ntificar KerK (p,v) con T p M.<br />
Entonces, ahora es facil ver que T (p,v) T M = KerD (p,v) π ⊕ KerK (p,v) y <strong>de</strong> igual<br />
manera se cumple para T (p,v) T 1 M solo que KerD (p,v) π t<strong>en</strong>dra una dim<strong>en</strong>sion m<strong>en</strong>os.<br />
Notaremos, si θ = (p, v) estos subespacios como V θ y H θ respectivam<strong>en</strong>te.<br />
Definiremos tambi<strong>en</strong> una metrica conv<strong>en</strong>i<strong>en</strong>te <strong>en</strong> estos subespacios aprovechando<br />
su i<strong>de</strong>ntificacion canonica con T p M (o un subespacio <strong>de</strong> T p M) llamada la metrica <strong>de</strong><br />
Sasaki que hace perp<strong>en</strong>diculares a estos subespacios y ti<strong>en</strong>e propieda<strong>de</strong>s interesante<br />
que estudiaremos a continuacion. La metrica esta dada por:<br />
〈X, Y 〉 θ = 〈D θ π(X), D θ π(Y )〉 p + 〈K(X), K(Y )〉 p<br />
Lo bu<strong>en</strong>o <strong>de</strong> la metrica como <strong>de</strong>ciamos es que hace H θ y V θ perp<strong>en</strong>diculares y<br />
por lo tanto queda que D θ π es una isometria <strong>en</strong>tre H θ y T p M. En particular, <strong>en</strong><br />
coor<strong>de</strong>nadas <strong>en</strong> H θ ⊕ V θ es s<strong>en</strong>cillo observar que el flujo geo<strong>de</strong>sico (que <strong>de</strong>notaremos<br />
φ t ) queda dado por el campo sigui<strong>en</strong>te<br />
X : T 1 M → T T 1 M ∼ = H θ ⊕ V θ X(p, v) = (v, 0)<br />
Ahora, vamos a ver que relacion hay <strong>en</strong>tre esta forma <strong>de</strong> p<strong>en</strong>sar el tang<strong>en</strong>te al<br />
tang<strong>en</strong>te unitario y los campos <strong>de</strong> Jacobi, eso es porque todo parece indicar que los<br />
4 Cpaz ya se uso, pero lo recuerdo igual, la coneccion <strong>de</strong> Levi-Civita es la que es compatible con<br />
la metrica, i.e. cumple X〈Y, Z〉 = 〈∇ X Y, Z〉+〈Y, ∇ X Z〉 y es simetrica, i.e. cumple ∇ X Y −∇ Y X =<br />
[X, Y ] .
FLUJO GEODÉSICO DE ANOSOV Y EN VARIEDADES SIN PUNTOS CONJUGADOS 9<br />
campos <strong>de</strong> Jacobi a<strong>sin</strong>toticos son los indicados como espacios estables e inestables<br />
<strong>de</strong>l flujo geo<strong>de</strong>sico (pero el tema es que no estan <strong>en</strong> T T 1 M).<br />
T<strong>en</strong>emos <strong>en</strong>tonces el sigui<strong>en</strong>te Lema que nos muestra como esta manera <strong>de</strong> <strong>de</strong>scomponer<br />
T T 1 M es a<strong>de</strong>cuada para estudiar la accion <strong>de</strong>l flujo geo<strong>de</strong>sico <strong>en</strong> los<br />
campos <strong>de</strong> Jacobi:<br />
Lema 3. Sea γ(t) una geo<strong>de</strong>sica <strong>de</strong> (M, g) tal que γ(0) = p y γ ′ (0) = v. Dado Z ∈<br />
T (p,v) T 1 M existe un unico campo <strong>de</strong> Jacobi J Z <strong>de</strong>finido <strong>en</strong> γ tal que J Z (0) = Dπ(Z) y<br />
J ′ Z (0) = K(Z). A<strong>de</strong>mas, la aplicacion Z ↦→ J Z es un isomorfismo <strong>en</strong>tre T (p,v) T 1 M y<br />
los campos <strong>de</strong> Jacobi <strong>en</strong> γ y cumple que Dπ(Dφ t (Z)) = J Z (t) y K(Dφ t (Z)) = J ′ Z (t).<br />
Es <strong>de</strong>cir, Dφ t (J(0), J ′ (0)) = (J(t), J ′ (t)) <strong>en</strong> las coor<strong>de</strong>nadas H θ ⊕ V θ .<br />
Demostracion . Sea Z ∈ T (p,v) T 1 M y construimos una curva α(s) = (β(s), V (s))<br />
<strong>en</strong> T 1 M que pase por (p, v) <strong>en</strong> 0 con velocidad Z.<br />
Para probar el lema vamos a utilizar el hecho <strong>de</strong> que los campos <strong>de</strong> Jacobi son los<br />
campos tang<strong>en</strong>tes a variaciones por geo<strong>de</strong>sicas.<br />
Es muy facil observar que Dφ t (Z) = ∂ φ ∂s t ◦ α(s)| s=0 , <strong>de</strong> la misma manera, se ve<br />
que DπDφ t (Z) = ∂ π ◦ φ ∂s t ◦ α(s)| s=0 . Lo interesante es que f(t, s) = π ◦ φ t ◦ α(s)<br />
es justam<strong>en</strong>te una variacion por geo<strong>de</strong>sicas (fijando el s t<strong>en</strong>emos exactam<strong>en</strong>te una<br />
geo<strong>de</strong>sica) con lo cual el campo ∂ f(t, s)| ∂s s=0 = J(t) cumple la ecuacion <strong>de</strong> Jacobi y<br />
t<strong>en</strong>emos que DπDφ t (Z) = J(t).<br />
Para ver lo otro, t<strong>en</strong>emos que J ′ (t) = ∂ ∂<br />
f(t, s)| ∂t ∂s s=0 <strong>en</strong>tonces, intercambiando<br />
las <strong>de</strong>rivadas obt<strong>en</strong>emos J ′ (t) = ∂ ∂<br />
π ◦ φ ∂s ∂t t(α(s))| s=0 = ∂ Dπ(X(α(s))| ∂s s=0 don<strong>de</strong> X<br />
<strong>de</strong>notaba el campo tang<strong>en</strong>te al flujo geo<strong>de</strong>sico, que se expresaba como X(p, v) =<br />
(v, 0) <strong>en</strong> las coor<strong>de</strong>nadas H θ ⊕ V θ con lo cual, X(α(s)) = (V (s), 0) y por lo tanto,<br />
Dπ(X(α(s))) = V (s) <strong>en</strong>tonces J ′ (t) = ∂ V (s)| ∂s s=0 = ∇ β ′ (0)V (0) = K(Z) como<br />
queriamos.<br />
□<br />
4.2. Forma simplectica y <strong>de</strong> Liouville. Estamos trabajando <strong>en</strong> una variedad <strong>de</strong><br />
dim<strong>en</strong>sion n. Su tang<strong>en</strong>te unitario es <strong>de</strong> dim<strong>en</strong>sion 2n − 1, pero al estar estudiando<br />
un flujo, po<strong>de</strong>mos p<strong>en</strong>sar que estamos estudiando transformaciones <strong>de</strong> espacios <strong>de</strong><br />
dim<strong>en</strong>sion 2n − 2 tomando secciones transversales. Lo primero que vamos a observar<br />
es que la seccion transversal mas natural <strong>en</strong> el tang<strong>en</strong>te es simplem<strong>en</strong>te el<br />
complem<strong>en</strong>to ortogonal al campo X que g<strong>en</strong>era el flujo geo<strong>de</strong>sico. A ese subespacio<br />
le vamos a llamar N θ y verifica que N θ = N θ ∩ H θ ⊕ V θ (esto es trivial ya que X es
10 DONNIE DARKO<br />
horizontal y V perp<strong>en</strong>dicular a X). Al mismo tiempo, como sabemos que los campos<br />
<strong>de</strong> Jacobi perp<strong>en</strong>diculares a la velocidad <strong>de</strong> la geo<strong>de</strong>sica don<strong>de</strong> se <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tran<br />
son siempre perp<strong>en</strong>diculares a esta, t<strong>en</strong>emos que el espacio N θ es Dφ t invariante<br />
(<strong>de</strong> hecho, ya trabajamos con esto, con otra notacion, y las dim<strong>en</strong>siones coinci<strong>de</strong>n).<br />
A<strong>de</strong>mas, lo bu<strong>en</strong>o <strong>de</strong> esta repres<strong>en</strong>tacion, es que es facil ver que se pue<strong>de</strong>n i<strong>de</strong>ntificar<br />
facilm<strong>en</strong>te H θ ∩ N θ con V θ ya que, al igual que N θ ∩ H θ , V θ son los vectores<br />
perp<strong>en</strong>diculares a la dirección <strong>de</strong>l flujo, pues v<strong>en</strong>dria a ser el tang<strong>en</strong>te a la “esfera”<br />
<strong>de</strong> vectores unitarios <strong>en</strong> el punto v (θ = (p, v)) que es justam<strong>en</strong>te la direccion <strong>de</strong>l<br />
flujo.<br />
Definiremos <strong>en</strong>tonces la sigui<strong>en</strong>te 2-forma simplectica (i.e. cerrada, antisimetrica<br />
y no <strong>de</strong>g<strong>en</strong>erada) <strong>en</strong> N θ × N θ dada por Ω θ (Z, Y ) = 〈Z H , Y V 〉 − 〈Z V , Y H 〉 (don<strong>de</strong> Z H ,<br />
Z V , Y H , Y V son las proyecciones a los horizontal y vertical). Es muy facil ver que es<br />
antisimetrica y no <strong>de</strong>g<strong>en</strong>erada, para ver que es cerrada basta hacer la cu<strong>en</strong>ta 5 .<br />
Vamos <strong>en</strong>tonces a ver que esta forma es invariante por el flujo geo<strong>de</strong>sico (i.e.<br />
φ ∗ t Ω = Ω).<br />
Proposicion 1. Ω es preservada por el flujo geo<strong>de</strong>sico, es <strong>de</strong>cir, se cumple que<br />
Ω θ (V, W ) = Ω φt(θ)(Dφ t V, Dφ t W ) para todo t ∈ R y todo par <strong>de</strong> vectores V, W ∈ N θ .<br />
Demostracion . La i<strong>de</strong>a es usar el Lema que relaciona campos <strong>de</strong> Jacobi con la<br />
accion <strong>de</strong> Dφ t <strong>en</strong> T T 1 M con lo cual po<strong>de</strong>mos escribir (<strong>en</strong> coor<strong>de</strong>nadas N θ ∩ H θ ⊕ V θ )<br />
Dφ t (V ) = (J V (t), J ′ V (t))<br />
Dφ t (W ) = (J W (t), J ′ W (t))<br />
con lo cual Ω φt(θ)(Dφ t V, Dφ t W ) = 〈J V (t), J ′ W (t)〉 − 〈J ′ V (t), J W (t)〉 lo cual veremos<br />
es constante.<br />
Sean J(t) y L(t) dos campos <strong>de</strong> Jacobi sobre γ(t) y sea W (t) = 〈J(t), L ′ (t)〉 −<br />
〈J ′ (t), L(t)〉.<br />
Entonces 6 ,<br />
W ′ (t) = 〈J ′ (t), L ′ (t)〉 + 〈J(t), L ′′ (t)〉 − 〈J ′ (t), L ′ (t)〉 − 〈J ′′ (t), L(t)〉 =<br />
= 〈J(t), −R(γ ′ (t), L(t))γ ′ (t)〉 − 〈L(t), −R(γ ′ (t), J(t), γ ′ (t)〉 = 0<br />
Con lo cual probamos la proposicion.<br />
5 Se pue<strong>de</strong> p<strong>en</strong>sar como que si x 1 , . . . , x n−1 es base <strong>de</strong> N θ ∩ H θ y y 1 , . . . , y n−1 es base <strong>de</strong> V θ<br />
<strong>en</strong>tonces Ω θ es dx 1 ∧ dy 1 + . . . + dx n−1 ∧ dy n−1 .<br />
6 Recordar que por ser campos <strong>de</strong> Jacobi J ′′ = −R(γ ′ , J)γ ′ y que 〈R(A, B)C, D〉 =<br />
〈R(C, D)A, B〉.
FLUJO GEODÉSICO DE ANOSOV Y EN VARIEDADES SIN PUNTOS CONJUGADOS 11<br />
Es facil ver tb que si t<strong>en</strong>es una 2-forma simplectica <strong>en</strong> un espacio vectorial <strong>de</strong><br />
dim<strong>en</strong>sion par (<strong>en</strong> realidad siempre ti<strong>en</strong>e que ser <strong>de</strong> dim<strong>en</strong>sion par para que pueda<br />
ser no <strong>de</strong>g<strong>en</strong>erada) se cumple que el producto exterior con si misma una cantidad<br />
igual a la mitad <strong>de</strong> veces la dim<strong>en</strong>sion <strong>de</strong>l espacio da una forma <strong>de</strong> volum<strong>en</strong>. Es<br />
claro tb que el producto exterior <strong>de</strong> Ω consigo mismo va a ser preservado por el flujo<br />
geo<strong>de</strong>sico. Entonces, po<strong>de</strong>mos construir facilm<strong>en</strong>te una forma <strong>de</strong> volum<strong>en</strong> invariante<br />
bajo la accion <strong>de</strong>l flujo geo<strong>de</strong>sico <strong>de</strong> la sigui<strong>en</strong>te forma.<br />
Sea α θ : T θ T 1 M → R la 1-forma dada por α θ (V ) = 〈V, X(θ)〉 que es facil ver que<br />
es invariante por el flujo geo<strong>de</strong>sico y <strong>de</strong>finimos (ext<strong>en</strong>di<strong>en</strong>do Ω a T θ T 1 M <strong>de</strong> forma<br />
que sea nula <strong>en</strong> la direccion <strong>de</strong>l flujo) la forma <strong>de</strong> volum<strong>en</strong> v θ = Ω (n−1)<br />
θ<br />
∧ α θ que sera<br />
preservada por el flujo geo<strong>de</strong>sico. La forma v θ se llama forma <strong>de</strong> Liouville.<br />
T<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do este volum<strong>en</strong> invariante, sabemos <strong>en</strong>tonces que casi todo (Lebesgue)<br />
punto <strong>de</strong> T 1 M es recurr<strong>en</strong>te por el flujo geo<strong>de</strong>sico lo cual resulta bastante interesante.<br />
Sin embargo, vale la p<strong>en</strong>a notar que todavia no se sabe si toda metrica se pue<strong>de</strong><br />
perturbar para t<strong>en</strong>er geo<strong>de</strong>sicas cerradas!.<br />
□<br />
4.3. El flujo geo<strong>de</strong>sico no es una susp<strong>en</strong>sion. Vamos a tratar <strong>de</strong> dar la prueba<br />
<strong>de</strong> que el flujo geo<strong>de</strong>sico no pue<strong>de</strong> ser una susp<strong>en</strong>sion, o lo que es lo mismo, que no<br />
existe una transversal global al flujo geo<strong>de</strong>sico (son equival<strong>en</strong>tes, una se construye<br />
facil a partir <strong>de</strong> la otra). Haremos la prueba <strong>en</strong> superficies unicam<strong>en</strong>te, se pue<strong>de</strong><br />
adaptar (no trivialm<strong>en</strong>te) a dim<strong>en</strong>siones mayores. Una prueba difer<strong>en</strong>te se pue<strong>de</strong><br />
<strong>en</strong>contrar <strong>en</strong> [GP].<br />
Entonces, supongamos que el flujo es una susp<strong>en</strong>sion, con lo cual existiria una<br />
variedad compacta K ⊂ T 1 M transversal al flujo. Es facil <strong>en</strong>tonces ver que t<strong>en</strong>emos<br />
un mapa π : K × R → T 1 M dado por π(k, t) = φ t (k).<br />
La i<strong>de</strong>a es la sigui<strong>en</strong>te, se ve facilm<strong>en</strong>te que si “levantamos” el flujo geo<strong>de</strong>sico<br />
a K × R todas las orbitas “viajan” <strong>de</strong> izquierda a <strong>de</strong>recha. La i<strong>de</strong>a es construir<br />
una isotopia que conjugue una orbita con su opuesta <strong>de</strong> forma tal que arranque <strong>en</strong><br />
la i<strong>de</strong>ntidad. Esto va a ser un absurdo, pues po<strong>de</strong>mos ext<strong>en</strong><strong>de</strong>r el flujo <strong>en</strong> K × R<br />
a K × R ∪ I, D (la compactificacion con dos <strong>puntos</strong>) y todo mapa isotopico a la<br />
i<strong>de</strong>ntidad ti<strong>en</strong>e que llevar I <strong>en</strong> I y D <strong>en</strong> D.<br />
Sea <strong>en</strong>tonces ˜K = K × R ∪ I, D la compactificacion con dos <strong>puntos</strong> <strong>de</strong> K × R <strong>de</strong><br />
forma que I repres<strong>en</strong>ta a K × {−∞} y D a K × {+∞}. Entonces, t<strong>en</strong>emos que<br />
todo punto cumple que por el flujo F t (k, s) = (k, t + s) (que es el levantado <strong>de</strong>l flujo
12 DONNIE DARKO<br />
geo<strong>de</strong>sico, pues conmuta con aplicar π) ti<strong>en</strong><strong>de</strong> <strong>en</strong> el pasado a I y <strong>en</strong> el futuro a D<br />
(m<strong>en</strong>os estos dos <strong>puntos</strong> que quedan quietos).<br />
Ahora, sea una geo<strong>de</strong>sica dada <strong>de</strong> la forma γ(t) = π(k 0 , t). Sea (p, v) = π(k 0 , 0) y<br />
sea H s : T 1 M → T 1 M una isotopia difer<strong>en</strong>ciable dada por H t (p, v) = (p, e iπt v) que<br />
esta bi<strong>en</strong> <strong>de</strong>finida <strong>en</strong> superficies pues no <strong>de</strong>p<strong>en</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> las cartas (pues cuanto se esta<br />
girando no <strong>de</strong>p<strong>en</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> la base <strong>en</strong> T p M <strong>sin</strong>o unicam<strong>en</strong>te <strong>de</strong>l producto interno alli que<br />
no <strong>de</strong>p<strong>en</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> las cartas). Es claro que H 1 (p, v) = (p, −v) con lo cual H1 −1 = H 1<br />
Consi<strong>de</strong>remos ϕ s t(p, v) = Hs<br />
−1 ◦ φ t ◦ H s (p, v) que es un flujo para todo s y que<br />
dado que por ser conjugado a φ t se preservan las orbitas y como H s es una isotopia<br />
a la i<strong>de</strong>ntidad se ti<strong>en</strong>e que el αlimite <strong>de</strong> toda orbita es I y el ωlimite es D. Esto<br />
es absurdo pues ϕ 1 t (p, v) = φ −t (p, v) ya que ϕ 1 t (p, v) = H 1 (φ t (p, −v)) que es ir por<br />
el flujo geo<strong>de</strong>sico <strong>en</strong> direccion contraria y luego dar vuelta el vector, es <strong>de</strong>cir, el el<br />
flujo geo<strong>de</strong>sico recorrido <strong>en</strong> tiempo inverso.<br />
El caso g<strong>en</strong>eral no es tan trivial <strong>de</strong> adaptar (salvo <strong>en</strong> el caso <strong>de</strong> dim<strong>en</strong>sion par<br />
que el mismo argum<strong>en</strong>to exacto funciona). Una posible i<strong>de</strong>a es dar vuelta el flujo<br />
localm<strong>en</strong>te y ver que el numero <strong>de</strong> interseccion con la variedad no pue<strong>de</strong> cambiar<br />
pues es un invariante homotopioco, pero hay que hacerlo!.<br />
5. <strong>Flujo</strong> geo<strong>de</strong>sico <strong>en</strong> curvatura negativa<br />
Vamos a probar <strong>en</strong> esta seccion que el flujo geo<strong>de</strong>sico <strong>en</strong> una variedad <strong>de</strong> curvaturas<br />
seccionales negativas es <strong>de</strong> <strong>Anosov</strong>. Para eso, vamos a utilizar los campos<br />
<strong>de</strong> Jacobi a<strong>sin</strong>toticos, “levantarlos” al tang<strong>en</strong>te <strong>de</strong> T 1 M y utilizar lo probado <strong>en</strong> la<br />
seccion anterior para ver que estos nos dan los espacios estables e inestables para el<br />
flujo (que probando que son linealm<strong>en</strong>te in<strong>de</strong>p<strong>en</strong>di<strong>en</strong>tes y g<strong>en</strong>eran probamos que es<br />
<strong>Anosov</strong>). Hay una prueba difer<strong>en</strong>te <strong>en</strong> [KH] que se basa <strong>en</strong> <strong>en</strong>contrar una familia <strong>de</strong><br />
conos invariante asegurando la hiperbolicidad, no es mas dificil, pero creo que esta<br />
es un poco mas geometrica e intuitiva.<br />
La prueba no es muy compleja. Primero, consi<strong>de</strong>ramos los subespacios <strong>de</strong> T θ T 1 M<br />
(θ = (p, v)) dados por E s (θ) = {(V, (J + V )′ (0)) : V ∈ T p M , 〈V, v〉 = 0} y E u (θ) =<br />
{(V, (J − V )′ (0)) : V ∈ T p M , 〈V, v〉 = 0} (estamos utilizando la notacion horizontalvertical<br />
<strong>de</strong> la seccion anterior y los campos J + V y J − V<br />
son los campos <strong>de</strong> Jacobi<br />
a<strong>sin</strong>toticos dados por el Teorema 3). Ahora, basta probar que estos campos son<br />
<strong>de</strong> hecho linealm<strong>en</strong>te in<strong>de</strong>p<strong>en</strong>di<strong>en</strong>tes (esto ya implica que su suma da el espacio<br />
ortogonal al flujo pues por proyectarse <strong>en</strong> todo el subespacio horizontal se cumple<br />
que ti<strong>en</strong><strong>en</strong> dim<strong>en</strong>sion al m<strong>en</strong>os n − 1) y que se van a cero expon<strong>en</strong>cialm<strong>en</strong>te (lo cual
FLUJO GEODÉSICO DE ANOSOV Y EN VARIEDADES SIN PUNTOS CONJUGADOS 13<br />
<strong>de</strong>duciremos comparando las soluciones <strong>de</strong> la ecuacion <strong>de</strong> Jacobi <strong>en</strong> la variedad con<br />
las <strong>de</strong> la misma ecuacion <strong>en</strong> el caso <strong>de</strong> curvatura constante).<br />
Veamos primero que los subespacios E s y E u que consi<strong>de</strong>ramos son linealm<strong>en</strong>te<br />
in<strong>de</strong>pedi<strong>en</strong>tes. Para eso, es sufici<strong>en</strong>te con ver que no hay un vector <strong>en</strong> ambos subespacios,<br />
y para eso, es sufici<strong>en</strong>te ver que dado V ∈ T p M ortogonal a v, sus campos<br />
<strong>de</strong> Jacobi a<strong>sin</strong>toticos no son iguales (esto no es inmediato, recordar que <strong>en</strong> el caso<br />
eucli<strong>de</strong>o es exactam<strong>en</strong>te lo que ocurre).<br />
Para eso, vamos a ver que t<strong>en</strong>emos cierta acotación <strong>de</strong> estos campos a<strong>sin</strong>toticos,<br />
que nos permitirá ver que no pue<strong>de</strong> existir un campo <strong>de</strong> Jacobi a<strong>sin</strong>totico para “los<br />
dos lados”. Esto sale <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> Rauch, comparando con una variedad <strong>de</strong> curvatura<br />
constante negativa que sea mayor que la <strong>de</strong> la variedad. La dificultad surge<br />
<strong>de</strong> que el teorema <strong>de</strong> Rauch pi<strong>de</strong> que los campos arranqu<strong>en</strong> <strong>de</strong> 0 y los campos a<strong>sin</strong>toticos<br />
son campos que nunca se anulan, con lo cual hay que <strong>de</strong>mostrarlo utilizando<br />
su construccion (acordarse que se construian como limite <strong>de</strong> cosos que iban anulandose<br />
cada vez mas lejos). Esto no parece dificil, pero ti<strong>en</strong>e pinta <strong>de</strong> medio embole<br />
<strong>en</strong>tonces paso <strong>de</strong> escribirlo por ahora y lo cu<strong>en</strong>to <strong>en</strong> la charla. El resultado va a ser<br />
algo asi como que ‖J + V (t)‖ < e−at ‖V ‖ y algo analogo para el negativo, con lo cual<br />
no pue<strong>de</strong>n <strong>de</strong>finir el mismo campo <strong>de</strong> Jacobi (basta pararse cerquita al costado y<br />
usar esa ecuacion y la invariancia por el flujo geo<strong>de</strong>sico).<br />
Al mismo tiempo, esa acotacion ayuda a ver que los vectores <strong>de</strong> E s y E u cumpl<strong>en</strong><br />
lo que ti<strong>en</strong><strong>en</strong> que cumplir para que el flujo sea <strong>de</strong> <strong>Anosov</strong>, y para eso, basta acotar<br />
la norma <strong>de</strong> ‖(J + V )′ (t)‖ con la <strong>de</strong> J + V<br />
. Para hacer eso se vuelve a utilizar la ecuacion<br />
<strong>de</strong> Ricatti t<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta que el coci<strong>en</strong>te <strong>en</strong>tre la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong>l campo <strong>de</strong> Jacobi<br />
y este era una solucion. Como las soluciones estan acotadas <strong>en</strong> curvatura negativa<br />
se termina la prueba.<br />
6. Teorema <strong>de</strong> Eberlein<br />
Lo probado <strong>en</strong> la seccion anterior se g<strong>en</strong>eraliza al sigui<strong>en</strong>te teorema:<br />
Teorema 4. Si los campos <strong>de</strong> Jacobi a<strong>sin</strong>toticos son l.i. <strong>en</strong> una variedad <strong>sin</strong> <strong>puntos</strong><br />
<strong>conjugados</strong> <strong>en</strong>tonces el flujo geo<strong>de</strong>sico es <strong>de</strong> <strong>Anosov</strong>.<br />
Para probar esto, basta ver que si<strong>en</strong>do l.i. se cumple que por el difer<strong>en</strong>cial <strong>de</strong>l flujo<br />
geo<strong>de</strong>sico estos campos ti<strong>en</strong><strong>de</strong>n a cero, pues utilizando argum<strong>en</strong>tos <strong>de</strong> compacidad<br />
se ti<strong>en</strong>e que ti<strong>en</strong><strong>de</strong>n a cero expon<strong>en</strong>cialm<strong>en</strong>te (si no hubiese un T tal que todos<br />
<strong>de</strong>crecieron la mitad por Dφ T <strong>en</strong>tonces un punto limite con T → ∞ cumple que no<br />
ti<strong>en</strong><strong>de</strong> a cero).
14 DONNIE DARKO<br />
7. <strong>Flujo</strong> geo<strong>de</strong>sico <strong>de</strong> <strong>Anosov</strong><br />
Vamos a probar <strong>en</strong> esta seccion que si una superficie riemanniana (M, g) cumple<br />
que su flujo geo<strong>de</strong>sico es <strong>de</strong> <strong>Anosov</strong>, <strong>en</strong>tonces, la variedad no ti<strong>en</strong>e <strong>puntos</strong> <strong>conjugados</strong>.<br />
Para esto, veremos que si hubies<strong>en</strong> <strong>puntos</strong> <strong>conjugados</strong> podriamos construir<br />
una subvariedad compacta transversal al flujo lo cual contradice el hecho <strong>de</strong> que un<br />
flujo geo<strong>de</strong>sico no pue<strong>de</strong> ser una susp<strong>en</strong>sion.<br />
La prueba ti<strong>en</strong>e dos etapas, la primera, probar que si hay un punto don<strong>de</strong> el<br />
espacio estable es vertical, <strong>en</strong>tonces, hay una superficie compacta transversal al<br />
flujo y por lo tanto concluimos (dado que el flujo geo<strong>de</strong>sico no es una susp<strong>en</strong>sion)<br />
que eso no pue<strong>de</strong> ocurrir. Por ultimo, probaremos que si hay <strong>puntos</strong> <strong>conjugados</strong>, <strong>en</strong><br />
algun punto el espacio estable es vertical.<br />
Consi<strong>de</strong>ramos el conjunto Λ = {θ ∈ T 1 M : Eθ s ∈ V θ}. Y supongamos que es no<br />
vacio.<br />
Probaremos que dado θ ∈ Λ, existe un <strong>en</strong>torno U <strong>de</strong> θ <strong>en</strong> T 1 M tal que Λ ∩ U<br />
es homeomorfo a un disco <strong>de</strong> dim<strong>en</strong>sion 2, lo cual prueba que Λ es una superficie<br />
cerrada <strong>en</strong> T 1 M que por ser compacto implica que Λ es una superficie cerrada. El<br />
mismo argum<strong>en</strong>to mostrara que Λ es transversal al flujo geo<strong>de</strong>sico.<br />
Sea D θ ∼ D ⊂ R 2 una pequeña seccion transversal al flujo geo<strong>de</strong>sico cerca <strong>de</strong> θ.<br />
Consi<strong>de</strong>remos U = ⋃ t∈(−δ,δ) φ t(D θ ).<br />
La i<strong>de</strong>a es s<strong>en</strong>cilla, si consi<strong>de</strong>ramos la ecuacion <strong>de</strong>l campo <strong>de</strong> Jacobi t<strong>en</strong>emos<br />
f ′′ + Kf = 0. A las soluciones las notaremos como f x (t) con t ∈ (−δ, δ) y x ∈ D θ .<br />
Sea f s la solucion que da lugar al espacio estable. Que θ ∈ Λ implica que fθ s(0) = 0<br />
y por lo tanto se ti<strong>en</strong>e que (fθ s)′ (0) ≠ 0 (por ejemplo (fθ s)′ (0) > 0. Consi<strong>de</strong>ramos<br />
<strong>en</strong>tonces un pequeño <strong>en</strong>torno <strong>de</strong>l punto (es <strong>de</strong>cir, achicamos δ y D θ ) don<strong>de</strong> valga que<br />
(fx) s ′ (t) > a > 0 y don<strong>de</strong> f s ∈ (−ε, ε). Se cumple que <strong>en</strong> g<strong>en</strong>eral po<strong>de</strong>mos asumir<br />
que fx(−δ) s < 0 y fx(δ) s > 0 pues tomando <strong>de</strong>lta un poquito mas gran<strong>de</strong> se cumple.<br />
Entonces, por funcion implicita, o lo que sea, t<strong>en</strong>emos ahi una pequeña superficie<br />
don<strong>de</strong> se cumple que la f s se anula y esa es la carta alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> θ que buscabamos.<br />
Ahora queremos ver que t<strong>en</strong>er un punto conjugado implica Λ ≠ ∅. Esto no es<br />
dificil, basta recordar que la forma simplectica Ω θ (Z, Y ) = 〈Z H , Y V 〉 − 〈Z V , Y H 〉 es<br />
Dφ t invariante. En el caso <strong>de</strong> campos <strong>de</strong> Jacobi <strong>en</strong> superficies, esto se traduce <strong>en</strong> que<br />
si f 1 y f 2 son soluciones sobre una geo<strong>de</strong>sica γ <strong>de</strong> la ecuacion difer<strong>en</strong>cial f ′′ +Kf = 0<br />
<strong>en</strong>tonces se cumple que f 1 (t)f 2(t) ′ − f 2 (t)f 1(t) ′ es constante.<br />
Sea <strong>en</strong>tonces γ una geo<strong>de</strong>sica con un punto conjugado. Es <strong>de</strong>cir que existe una<br />
solucion f <strong>de</strong> la ecuacion <strong>de</strong> Jacobi tal que f(0) = 0 y f(t 0 ) = 0 (suponemos que
FLUJO GEODÉSICO DE ANOSOV Y EN VARIEDADES SIN PUNTOS CONJUGADOS 15<br />
no hay <strong>puntos</strong> <strong>conjugados</strong> <strong>en</strong> el intervalo (0, t 0 ). Consi<strong>de</strong>remos <strong>en</strong>tonces la solucion<br />
correspondi<strong>en</strong>te al espacio estable f s .<br />
Se cumple que f s (0)f ′ (0) − f(0)(f s ) ′ (0) = f s (t 0 )f ′ (t 0 ) − f(t 0 )(f s ) ′ (t 0 ) con lo cual<br />
t<strong>en</strong>emos f s (0)f ′ (0) = f s (t 0 )f ′ (t 0 ). Basta ver que el signo <strong>de</strong> f ′ (0) es opuesto al <strong>de</strong><br />
f ′ (t 0 ) para utilizando el Teorema <strong>de</strong> Bolzano concluir que existe t ∈ [0, t 0 ] tal que<br />
f s (t) = (y por lo tanto completar la prueba).<br />
El hecho que ya m<strong>en</strong>cionamos que la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> un campo <strong>de</strong> Jacobi no trivial<br />
al hacerse nulo no pue<strong>de</strong> ser cero, junto con que 0 y t 0 son dos <strong>puntos</strong> consecutivos<br />
don<strong>de</strong> se anula f implican directam<strong>en</strong>te que el signo <strong>de</strong> f ′ (0) es opuesto al <strong>de</strong> f ′ (t 0 ).<br />
Refer<strong>en</strong>ces<br />
[A] <strong>Anosov</strong>, Su paper famoso<br />
[dC] Do Carmo, Geometria Riemanniana, Proyecto Eucli<strong>de</strong>s<br />
[Eb] Eberlein, P. Wh<strong>en</strong> is a geo<strong>de</strong>sic flow of <strong>Anosov</strong> Type I y II.<br />
[FM] Freire, Mañe, On the <strong>en</strong>tropy of geo<strong>de</strong>sic flow of manifolds without conjugate points.<br />
[GP] G.Paternain, Geo<strong>de</strong>sic flows.<br />
[KH] Katok- Hasselblatt<br />
[Kl] Klingemberg<br />
[Kl2] Libro <strong>de</strong> Kling<strong>en</strong>berg<br />
[M] Mañe, On a theorem of Klingemberg<br />
[MP] M. Paternain, Expansive geo<strong>de</strong>sic flows on surfaces.<br />
[R1] Ruggiero , Tres teoremas importantes sobre flujos geo<strong>de</strong>sicos <strong>en</strong> superficies<br />
[R2] Ruggiero, Ensaios Matematicos.