El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

TRABAJO MONOGRÁFICOEl LaplacianoenVariedades RiemannianasJanine BachrachasOrientador: Federico Rodriguez Hertz20 de Noviembre, 2008MontevideoUruguayLicenciatura en MatemáticaFacultad de CienciasUniversidad de la República

ResumenEn estas notas estudiamos el Operador Laplaciano en ciertas variedadesRiemannianas, para lo cual será necesario encontrar unaadecuada definición que generalize la noción usual en R n . Probaremosque el Laplaciano es un operador diagonalizable y que susautofunciones constituyen una base ortonormal de las funciones decuadrado integrable en la variedad. Por último nos centraremos en elejemplo de la esfera S n , calculando sus autovalores y autofunciones.Además, probaremos una condición suficiente para que una variedadsea isométrica a la esfera S n .Palabras clave: Variedad Riemanniana, El operador Laplaciano,Transformada de Fourier, Espacios de Sobolev, Teorema Espectral,Espectro del Laplaciano, Campos de Jacobi.AbstractIn these notes we study the Laplace Operator defined on certainRiemannian manifolds. With this in mind, we will have to reach foran accurate definition, generalizing the usual notion in R n . We willprove that the Laplacian is a diagonal operator, and its eigenfunctionsare an ortonormal basis of the square-integrable functions on themanifold. At the end, we will focus on the case our manifold is thesphere S n , computing its eigenvalues and eigenfunctions. Moreover,we will prove a sufficient condition for a manifold be isometric to thesphere S n .Keywords: Riemannian Manifold, Laplacian, The Fourier Transform,Sobolev Spaces, Spectral Theorem, Spectrum of the Laplacian, JacobiFields.

A mis guías:Federico y Luciana.A mis hermanos:Javier, Juan Pablo, Yaiza y Nicolás.

Índice general1. Panorámica 92. Herramientas del Análisis Funcional 172.1. Distribuciones y derivadas débiles . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.1. Transformada de Fourier en R n . . . . . . . . . . . . . . 202.2.2. Transformada de Fourier para distribuciones. . . . . . . . 242.3. Análisis Funcional de operadores no acotados . . . . . . . . . . 252.4. Espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4.1. Espacios de Sobolev en R n . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4.2. Espacios de Sobolev: construcción general . . . . . . . . 312.4.3. H s (R n ) como el dominio del Laplaciano. . . . . . . . . . 322.4.4. Equivalencias y conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . 333. Primeros Resultados en R n 394. El Laplaciano en variedades 494.1. Localización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2. El Laplaciano en la esfera S n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3. El Laplaciano como fuente de información geométrica. . . . . . . 60Bibliografía 717

Capítulo 1PanorámicaEn este trabajo (M, g) denotará una variedad Riemanniana M de dimensiónn, compacta, conexa, sin borde, orientable y g será una métrica Riemanniana.Asumimos que una orientación ha sido asignada.En este capítulo introduciremos las primeras definiciones y propiedades quenos acompañarán a lo largo de todo el trabajo.Notación 1.1Sea x ∈ M, U ⊂ M abierto con x ∈ U y ϕ: R n −→ U una parametrización.Notaremos X i = d x ϕ(e i ) siendo {e 1 , ..., e n } la base canónica de R n . Tambiénes usual notar∂∂x ia los d x ϕ(e i ), pero nosotros adoptaremos la notación introducidapreviamente. La matriz de la métrica G será G = G(x) = (g ij ) ij cong ij = 〈X i , X j 〉 x .Definición 1.1 (Forma de volumen canónica)Dados x ∈ M y B = {v 1 , ..., v n } base ortonormal directa de T x M, existeuna única ω g x : T x M × ... × T x M −→ R n-forma multilineal alternada tal queω x (v 1 , ..., v n ) = 1. Explícitamente,ω g x = dv 1 ∧ ... ∧ dv ndonde {dv 1 , ..., dv n } es la base dual de {v 1 , ..., v n }.Observamos que si C = {w 1 , ..., w n } es otra base de T x M entoncesdw 1 ∧ ... ∧ dw n = det P · dv 1 ∧ ... ∧ dv ncon P = B [id] C la matriz de cambio de base. Esto implica que si C también es directay ortonormal entonces det P = 1 y por tanto dw 1 ∧...∧dw n = dv 1 ∧...∧dv n ,por lo que ω g x está bien definida.Diremos que ω g = {ω g x} x∈M es la forma de volumen canónica de la variedad(M, g).9

PanorámicaObservación 1.1Si x ∈ M entonces ω g x(X 1 , ..., X n ) = √ det(g ij ) con X i como antes.Demostración:Consideremos B = {v 1 , ..., v n } una base ortonormal de T x M. X i = ∑ j 〈X i, v j 〉 x v jpor lo que 〈X i , X j 〉 x = ∑ k 〈X i, v k 〉 x 〈X j , v k 〉 x . Si llamamos P a la matriz decambio de base B [id] C entonces p ij = 〈X i , v j 〉 x y obtenemos que G = P t P ypor tanto det G = (det P ) 2 y ω(X 1 , ..., X n ) = det P = √ det G.Observación 1.2 (Correspondencia T M ⇔ T ∗ M)Dado x ∈ M, si v ∈ T x M entonces v = ∑ i a iX i . Sabemos que existe unúnico funcional ξ ∈ (T x M) ∗ tal que ξ(w) = 〈w, v〉 x , ∀w ∈ T x M. Si escribimosξ = ∑ i ai dx i , siendo {dx 1 , ..., dx n } la base dual de {X 1 , ..., X n }, observamosquen∑n∑a i = ξ(X i ) = 〈X i , v〉 x = a j 〈X i , X j 〉 x = a j g ijy por lo tanto también obtenemos quej=1j=1a i =n∑a i g ijj=1siendo g ij las entradas de la matriz inversa de G = (g ij ) ijDefinición 1.2 (Gradiente)Dada u ∈ C ∞ (M), sea du : T M −→ R la derivada exterior. Para cadax ∈ M, d x u : T x M −→ R es una funcional lineal, por lo que el Teoremade Riesz nos asegura que existe un único vector ∇ g u(x) en T x M tal qued x u(v) = 〈v, ∇ g u(x)〉 x, ∀v ∈ T x M.Cálculo explícito del gradiente en coordenadas locales.Si u ∈ C ∞ (M) entoncesdu =n∑i=1∂u∂ x idx iPor lo tanto vía la observación 1.2 obtenemos que∇ g u =n∑i,j=1∂u∂ x jg ij X i10

Observación 1.3De la expresión en coordenadas locales y la observación 1.2 tenemos que∀ u ∈ C ∞ (M)∇ g u = G −1 ∇u.Definición 1.3 (Divergencia de un campo de vectores)Dada ω forma de volumen, definimos la divergencia de un campo X respectoa ω de la siguiente manera:Sea i X ω la (n − 1)-forma definida pori X ω(X 1 , ..., X n−1 ) = ω(X(x), X 1 , ..., X n−1 )∀ X 1 , ..., X n−1 ∈ T x M, ∀ x ∈ M.Luego d(i X ω) es una n-forma, por lo que existe un único número real div ω Xde manera qued(i X ω) = div ω X · ωCálculo explícito de la divergencia en coordenadas locales.Consideremos una forma de volumen ω = θdx 1 ∧ ... ∧ dx n con θ = √ det(g ij ) yX un campo. Entoncesi X ω(X 1 , ..., ˆX i , ..., X n ) = ω(X, X 1 , ..., ˆX i , ..., X n )= (−1) i−1 ω(X 1 , ..., X, ..., X n )= (−1) i−1 X i ω(X 1 , ..., X n )= (−1) i−1 X i θDonde X i denota la i-ésima componente del campo X y ˆX 1componente X i está omitida. Luegoindica que lad(i x ω) =n∑(−1) i−1 ∂(θXi )dx i ∧ dx 1 ∧ ... ∧ dˆx i ∧ ... ∧ dx n∂ xi=1i=n∑ ∂(θX i )dx 1 ∧ ... ∧ dx n∂ xi=1 i= 1 n∑ ∂(θX i )ωθ ∂ x ii=111

PanorámicaPor lo que la divergencia del campo resultadiv ω X = 1 θn∑i=1∂(θX i )∂ x iObservación 1.4Para toda u ∈ C ∞ (M) y todo campo XDemostración:div(u X) = u · divX + 〈∇ g u, X〉div(uX)ω = d(i uX ω) = du ∧ ω + u · d(i X ω) = du(X)ω + u divXω□Definición 1.4 (Laplaciano)Si u ∈ C ∞ (M), definimos el Laplaciano de u por∆ g u = −div ω (∇ g u)Cálculo explícito del Laplaciano en coordenadas locales.n∑∆ g u = −div(∇ g u) = 1 θi=1(= − 1 n∑ ∂θg ∑ ijθ ∂ xi=1 ij∂(θ (∇ g u) i )∂ x i∂u∂ x j)= − 1 θn∑i, j=1( )∂ ij ∂uθg∂ x i ∂ x jConsideramos el caso en que M = R n con la métrica Euclídea, es decir queg ij = δ ij . El Laplaciano de una función u ∈ C ∞ (M) resulta∆ g u = −n∑i=1∂ 2 u∂x 2 iEsta conocida fórmula es la opuesta a la del Laplaciano usual en R n . El signode menos fue puesto pon una cuestión de practicidad, pero es claro que noaltera el comportamiento del Laplaciano como operador.12

Observamos también que si en una variedad (M, g) consideramos {X 1 , ..., X n }una base ortonormal de T x M respecto de la métrica g, obtenemos tambiéng ij = δ ij por lo que arribamos a la misma fórmula.A continuación veremos las primeras propiedades del Laplaciano, que se desprendendirectamente de la definición.Proposición 1.1Para todas u,v ∈ C ∞ (M) se tiene que∫∫u ∆ g v dω g =Demostración:Sabemos queMM〈∇ g u, ∇ g v〉dω gdiv(u ∇ g v) = u · div(∇ g v) + 〈∇ g u, ∇ g v〉 = −u · ∆ g v + 〈∇ g u, ∇ g v〉Integrando∫M∫∫div(u ∇ g v)dω g = − u ∆ g v dω g + 〈∇ g u, ∇ g v〉dω gMMReescribiendo el término de la izquierda y utilizando el teorema de Stokestenemos que∫∫∫div(u ∇v)dω g = d i u ∇v ω = i u ∇v ω = 0Mya que ∂M es vacío.M∂M□Corolario 1.2El Laplaciano ∆ g : C ∞ (M) −→ L 2 (M) es un operador simétrico.Demostración:Dadas u, v ∈ C ∞ (M) tenemos que∫∫∫〈∆ g u, v〉 = ∆u · v dω g = 〈∇ g u, ∇ g v〉dω g =13MMMu · ∆ g v dω g = 〈u, ∆ g v〉□

PanorámicaCorolario 1.3El laplaciano ∆ g : C ∞ (M) −→ L 2 (M) es un operador “positivo”:∫〈∆ g u, u〉 =∀u ∈ C ∞ (M).M∫∆ g u · u dω g =M〈∇ g u, ∇ g u〉dω g = ‖|∇ g u|‖ 2 ≥ 0□Invariancia por Isometrías del Laplaciano.Definición 1.5Sean (M, g) y (N, h) son dos variedades Riemannianas. Diremos que un difeomorfismoϕ: M −→ N es una isometría si ∀ x ∈ M se verifica〈v, w〉 x = 〈d x ϕ(v), d x ϕ(w)〉 ϕ(x)∀ v, w ∈ T x M.Una propiedad fundamental del Laplaciano es la invariancia por isometrías,que puede describirse de la siguiente manera:Proposición 1.4Sean f : N −→ R una función diferenciable y ϕ: M −→ N una isometría.Entonces∆ M (f ◦ ϕ) = ∆ N f ◦ ϕDemostración:Dado x ∈ M, tomemos {X 1 , ..., X n } una base ortonormal de T x M. Sean {γ i }las geodésicas que en tiempo t = 0 pasan por x con velocidad X i . Como d x ϕpreserva el producto interno {d x ϕ(X 1 ), ..., d x ϕ(X n )} es una base ortonormalde T ϕ(x) N. Si llamamos δ i = ϕ(γ i ) entonces {δ i } son curvas que en tiempot = 0 pasan por ϕ(x) con velocidad d x ϕ(X i ).14

Tenemos entonces que∆ M (f ◦ ϕ)(x) = −= −n∑i=1n∑i=1d 2dt 2 ((f ◦ φ) ◦ γ i)(0)d 2dt 2 (f ◦ (δ i))(0) = [(∆ N f) ◦ ϕ](x)para todo x ∈ M, por lo que obtenemos el resultado.□15

Panorámica16

Capítulo 2Herramientas del AnálisisFuncionalGran parte de nuestro trabajo se centrará en el estudio del Laplaciano comooperador, para lo cual necesitaremos introducir algunos conceptos de Análisisde Fourier y de Análisis Funcional para operadores no acotados.2.1. Distribuciones y derivadas débiles¿Qué es derivar débilmente y porqué queremos hacerlo?Nuestra primera motivación es que nuestro protagonista, el Laplaciano, es unoperador que actúa derivando. Muchas veces trabajamos con objetos que, obien no son diferenciables, o bien no controlamos que lo sean o no. La nociónde derivada débil será una asignación que verifique algunas propiedades básicasde la derivada convencional, y nos permita trabajar “sin preocuparnos” de laverdadera naturaleza de los objetos.Comencemos trabajando en C ∞ 0 (M), las funciones de M en R de clase C ∞ y soportecompacto. Consideremos la siguiente noción de convergencia en C ∞ 0 (M):Diremos que φ n −→ φ en el sentido de D(M) si1. ∃ K ⊂ M tal que ∀ n ∈ Z, sop(φ n − φ) ⊂ K2. D α φ n −→ D α φ uniformemente en K, ∀ α multiíndiceLlamemos C al conjunto de las funcionales lineales continuas respecto a estaconvergencia. Observamos que C no es vacía: la función evaluación i x es linealy como la convergencia en el sentido de D(M) implica la convergencia puntual,i x está en C. Consideramos entonces la topología débil respecto de la familiaC. Como C es un espacio vectorial, sus elementos son todas las funcionalescontinuas. Llamaremos D ′ (M) al dual de D(M) con la topología débil-∗, yDistribuciones a sus elementos.17

Herramientas del Análisis FuncionalDefinición 2.1Diremos que una función u, definida a menos de conjuntos de medida nula enM, es localmente integrable si para todo conjunto compacto A ⊂ M se cumpleque u ∈ L 1 (A).L 1 loc (M) denotará al conjunto de las funciones localmente integrables en M.Trabajemos entonces en este espacio. Dada u ∈ L 1 loc (M), hagamos una asignaciónanáloga a la que haríamos vía Riesz, si u estuviera en L 2 (M), para obtenerun funcional lineal. Explícitamente, le asociaremos la función T u definida por∫T u (φ) = u(x)φ(x)dx ∀φ ∈ DMObservamos que esta expresión tiene sentido pues uφ ∈ L 1 (M). La linealidadde la integral asegura que T u será lineal.Para ver la continuidad, tomemos {φ n } ⊂ C0 ∞ (M) convergiendo a φ ∈ C0 ∞ (M)en el sentido de D. Sabemos entonces que existe un compacto K tal quesop(φ n − φ) ⊂ K, y por lo tanto∫|T u φ n − T u φ| ≤ sup |φ n (x) − φ(x)| |u(x)|dx −→ 0x∈KEs importante remarcar que el mapa u T u no es en general sobreyectivo,es decir, existen distribuciones que no son de la forma T u para ningún u ∈L 1 loc (M). Por ejemplo, consideremos la distribuciónδ x0 (φ) = φ(x 0 )K∀, φ ∈ D y un x 0 ∈ M.Si δ x0 (φ) fuera de la forma T u para alguna u ∈ L 1 loc (M) entonces ∀ φ ∈ C∞ 0 (M)∫δ x0 (φ) = T u (φ) = u(x)φ(x)dω g (x)Sea φ ∈ C0 ∞ (M) tal que φ(x) = 0 ⇔ x = x 0 . Luego,∫u(x)φ(x)dω g (x) = φ(x 0 ) = 0Mpor lo que u(x)φ(x) = 0 y por tanto u(x) = 0 en casi todo punto, lo queimplica que T u ≡ 0. Ahora, sea ψ ∈ C ∞ 0 (M) tal que ψ(x 0 ) ≠ 0. LuegoM0 ≠ δ x0 (ψ) = T u (ψ) = 018

2.1 Distribuciones y derivadas débileslo que es una contradicción.Si ahora consideramos una función u de clase C 1 , utilizando el teorema deStokes y el hecho de que M no tiene borde, es inmediata una fórmula de “integraciónpor partes”. Luego, si u es lo suficientemente diferenciable tememosque∫∫(D α u)(x)φ(x)dx = (−1) |α| u(x)D α φ(x)dxMEsto motiva una definición de “derivada” de una distribución:Si T es de la forma T u es natural definir D α T u = (−1) |α| T D α u para tener laintegración por partes.Generalizando esta fórmula, dada una distribución T y un multiíndice α, definimos(D α T )(φ) = (−1) |α| T (D α φ) (2.1)para toda φ ∈ D.Veamos que así definida D α T es de hecho una distribución. Si miramos elmiembro derecho de la ecuación 2.1, la linealidad es inmediata de la linealidadde la derivada convencional y de T . Para ver que es continuo, tomemos{φ n } ⊂ C ∞ 0 (M) convergiendo a φ ∈ C ∞ 0 (M) en el sentido de D. Sabemosentonces que existe un compacto K tal que sop(φ n − φ) ⊂ K y por tantoAdemás,sop(D α φ n − D α φ) = sop(D α (φ n − φ)) ⊆ sop(φ n − φ) ⊂ KD β (D α (φ n − φ)) = D α+β (φ n − φ) −→ 0uniformemente en K. Así, obtuvimos que D α φ n −→ D α φ en el sentido de D.Como T es continua en el sentido de las distribuciones, T (D α φ n ) −→ T (D α φ),y por 2.1 vemos que esto es equivalente a que D α T (φ n ) −→ D α T (φ).MTerminando...Estamos ahora en condiciones de definir la derivada débil de una funciónu ∈ L 1 loc (M). Tomemos un multiíndice α. Si existe v α ∈ L 1 loc (M) tal queT vα = D α (T u ), entonces v α será único a menos de conjuntos de medida nula.A este elemento lo llamaremos α-ésima derivada débil de u, y notaremosD α u. Como adelantábamos, en caso de que exista la derivada en el sentidoconvencional, la derivada débil coincide con ésta.19

2.2. Transformada de FourierHerramientas del Análisis FuncionalLa transformada de Fourier resultará un elemento crucial en nuestro trabajo.Las buenas propiedades y la regularidad de este operador nos ofrecerán técnicasque facilitarán enormemente el desarrollo de nuestra teoría.2.2.1. Transformada de Fourier en R nDefinición 2.2La Transformada de Fourier es el operador F : L 1 (R n ) −→ L ∞ (R n ) definidocomo Ff = ˆf con∫1ˆf(ξ) =f(x) e −i〈ξ,x〉 dx (2.2)(2π) n/2 R n∀ ξ ∈ R nLa ecuación 2.2 tiene sentido pues∫| ˆf(ξ)| 1≤|f(x)|dx =(2π) n/2 R n∀ ξ ∈ R n1(2π) n/2 ‖f‖ L 1La linealidad de F es inmediata y también se tiene que‖ ˆf‖ L ∞ ≤por lo que F es un operador continuo.1(2π) n/2 ‖f‖ L 1También es posible definir la llamada Transformada de Fourier Inversa de lasiguiente manera∫1ˇf(ξ) =f(x) e i〈ξ,x〉 dx (2.3)(2π) n/2 R nUna cuenta análoga a la que realizamos para F muestra que la transformadainversa es también un operador continuo.Introduciremos ahora los Espacios de Schwartz ya que son un “buen” contextopara trabajar con la transformada F.Definición 2.3 (Espacio de Schwartz)S(R n ) = {u ∈ C ∞ (R n ): supx∈R n |x α ∂ β u(x)| < ∞ ∀ α, β multiíndices }20

2.2 Transformada de FourierEs fácil ver que C ∞ 0 (R n ) es denso en S(R n ) con la topología inducida por lanorma L 2 .Una de las buenas propiedades que mencionábamos es el hecho de que si restringimosF a S(R n ), la transformada inversa resulta ser efectivamente lainversa de la transformada de Fourier F. Por esto, es usual notar F −1 a latransformada inversa. El resultado lo probaremos más adelante.Proposición 2.1Se cumple que F(S(R n )) ⊂ S(R n ) y valen las siguientes fórmulas(−i) |α| ̂(Dα f)(ξ) = ξ α ˆf(ξ) (2.4)(−i) |α|̂(xα f)(ξ) = (D α ˆf)(ξ) (2.5)Demostración:La primera afirmación se deduce de las fórmulas ya que para cualquier α, βmultiíndicessup |ξ α D β û(ξ)| = sup |ξ α̂xβ u(ξ)| = sup | Dα̂(x β u)(ξ)|ξ∈R n ξ∈R n ξ∈R n≤1(2π) n/2 ‖Dα (x β u)‖ L 1 (R n ) < ∞ya que si una función está en S(R n ) entonces es absolutamente integrable ysus derivadas también están en S(R n ).Para verificar las fórmulas observemos que∂ ˆf (ξ) = ∂ [∂ξ i ∂ξ i==∫1(2π) n/2∫1(2π) n/2∫1(2π) n/2]f(x) e −i〈ξ,x〉 dxR nR n f(x) ∂∂ξ i[e−i〈ξ,x〉 ] dxR n (−i)x i f(x)e −i〈ξ,x〉 dx = (−i) ̂(x i f)(ξ)Derivando sucesivas veces obtenemos la fórmula 2.5. Para demostrar 2.4, observemosque21̂∂f∂x i(ξ) =∫1(2π) n/2= límR→+∞= i ˆf(ξ)R n1∂f∂x i(x)e −i〈x,ξ〉 dx(2π) n/2 ∫∂B(0,R)f(x)e −i〈x,ξ〉 dx + i∫1(2π) n/2R n ξ i f(x)dx

Herramientas del Análisis Funcionalya que∫lím f(x)e −i〈x,ξ〉 dx = 0R→+∞∂B(0,R)Nuevamente, derivando sucesivas veces, obtenemos el resultado.□Proposición 2.21. Si f ∈ S(R n ) entonces F es una isometría, i.e.∫∫|f(x)| 2 dx = | ˆf(x)| 2 dxR n R n2. Si φ, ψ ∈ S(R n ) entonces∫R n ˆφψ dx =∫y consecuentemente∫R n ˆφ ˆψdx =∫R n φ ˆψ dxR n φψdx3. La Transformada Inversa es el operador inverso de la Transformada deFourier.Demostración:(1) Llamemos C ε = [− 1 ε , 1 ε ]n ⊂ R n el cubo de volumen (2/ε) n centrado en elorigen de R n . Dada f ∈ C ∞ 0 (R n ), sea ε > 0 suficientemente pequeño tal quesop(f) ⊂ C ε . Definamos también el conjuntoK ε = {k ∈ R:k(πε) ∈ Z}Ahora, {( 1 2 ε)n/2 e i〈k,x〉 } k∈Kεes una base ortonormal de L 2 (C ε ), por lo quef(x) = ∑ k∈K ε〈( 1 2 ε)n/2 e i〈k,x〉 , f(x)〉( 1 2 ε)n/2 e i〈k,x〉Además sabemos quef(x) = ∑ k∈K εˆf(k)ei〈k,x〉(2π) n/2 (πε) n 22

2.2 Transformada de FourierLuego∫∫|f(x)| 2 dx = |f(x)| 2 dx = ∑ |〈( 1R n C ε2 ε)n/2 e i〈k,x〉 , f(x)〉| 2k∈K ε= ∑ ∣ ∣∣∣∣ ∫∑( 1 2ˆf(j)k∈KC ε2 ε)n/2 e i〈k,x〉(2π) n/2 ei〈j,x〉 dx∣ε j∈K ε= ∑ ∣ ∣∣∣∣ ∫( 1 2ˆf(k)k∈KC ε2 ε)n/2(2π) n/2 (πε)n dx∣ε= ∑ ( 2 ε )2n ( 1 2| ˆf(k)|ε)n2 (2π) n (πε)2nk∈K ε= ∑ ∫| ˆf(k)| 2 (πε) n −−→ | ˆf(x)| 2 dxε→0k∈KR n ε(2)∫R n ˆφψ dx =∫==Análogamente, se prueba que∫∫[∫]φ(x)e −i〈x,ξ〉 dξ ψ(x)dx(2π) n/2 R[∫n ]ψ(ξ)e −i〈ξ,x〉 dx φ(ξ)dξ (2.6)(2π) n/2 R nR n 1R n 1R n φ ˆψ dξ∫R n ˇφψ dx =∫R n φ ˇψ dxUtilizando la fórmula 2.6, si tomamos φ y ˆψ entonces∫R n ˆφ ˆψ dx =∫R n φ ˆˆψ dξ =∫R n φψdξ(3) Observemos primero que Fφ = F −1 φ. Luego∫ ∫∫φ 2 dx = FφF −1 φdx = φFF −1 φdxR n R n R n∫ ∫∫φ 2 dx = F −1 φFφdx = φF −1 FφdxR n R n R nPor lo que φ = FF −1 φ = F −1 Fφ en casi todo punto, y como es continua, entodo punto.23

Herramientas del Análisis FuncionalCorolario 2.3La transformada de Fourier F : L 2 (R n ) −→ L 2 (R n ) es un operador unitario.Demostración:De la proposición anterior es inmediato que F : S(R n ) −→ S(R n ) es un operadorunitario. Como S(R n ) es denso en L 2 (R n ) obtenemos el resultado.□Corolario 2.4Si f ∈ S(R n ) tenemos que ∆f = (|ξ| 2 ˆf)ˇDemostración:Por la proposición anterior sabemos quê∆f(ξ) = (|ξ| 2 ˆf)(ξ)Tomando la transformada inversa a ambos lados obtenemos el resultado.Una operación en S que resultará muy útil es la convolución□Definición 2.4Si f, g ∈ S(R n ) se define la convolución de f y g por∫(f ∗ g)(x) = f(x − y)g(y)dyR n (2.7)La expresión 2.7 tiene sentido pues si definimos h(x, y) = f(x−y)g(y) entoncesh ∈ L 1 (R n × R n ) y por el teorema de Fubini la función x f(x − y)g(y)también está en L 1 (R n ).2.2.2. Transformada de Fourier para distribuciones.Sea S ′ (R n ) el dual de S(R n ) con la topología débil-∗. A los elementos de S ′ (R n )los llamaremos Distribuciones Temperadas.Observemos lo siguiente: podemos pensar a S(R n ) “dentro” de S ′ (R n ), ya24

2.3 Análisis Funcional de operadores no acotadosque dada una función f ∈ S(R n ) y α multiíndice, podemos asociarle una distribuciónT f, α mediante∫T f, α (φ) = 〈D α f, φ〉 = D α f(x)φ(x)dxR n∀ φ ∈ S.El hecho de que T f, α resulta efectivamente una distribución se prueba de maneraanáloga a las pruebas realizadas en la sección Derivadas Débiles.Derivaremos distribuciones temperadas en el sentido introducido en dicha sección.2.3. Análisis Funcional de operadores no acotadosIntroduciremos algunos conceptos básicos de esta teoría. En esta sección, Hdenotará un espacio de Hilbert y 〈·, ·〉 su producto interno.Definiciones básicas.Definición 2.5Un operador T en H es un mapa lineal de un subconjunto de H que llamaremosdominio de T en H. Notaremos dom(T ) al dominio de T y asumiremos quedom(T ) es denso en H.Definición 2.6Si T : dom(T ) −→ H es un operador, el gráfico de T es el conjuntoG(T ) = {(x, T x) ∈ H × H : x ∈ H}Definición 2.7Un operador T se dice cerrado si su gráfico es un subconjunto cerrado deH × H.Definición 2.8Sean T 0 y T 1 dos operadores en H. Diremos que T 1 es una extensión de T 0si dom(T 1 ) ⊃ dom(T 0 ) y T 0 x = T 1 x ∀x ∈ dom(T 0 ). En este caso escribiremosT 1 ⊃ T 0 .25

Herramientas del Análisis FuncionalDefinición 2.9Un operador T es cerrable si admite un extensión cerrada. Si T es cerrable asu extensión más pequeña (que existe por el lema de Zorn) la llamaremos laclausura de T y la notaremos T .Observación 2.1Una manera constructiva de obtener T es la siguiente:Consideremos el gráfico de T , su clausura G(T ) ⊂ H×H y sea π i : H×H −→ Hla proyección canónica sobre la i-ésima coordenada para i = 1, 2. Llamemosdom(T ) := π 1 (G(T )). Es claro que dom(T ) ⊃ dom(T ). Definimos entoncesT : dom(T ) −→ H de la siguiente manera:Si {v n } ⊂ H tal que {(v n , T v n )} es convergente, entonces T v := π 2 (lím n T v n ).Es claro que así definido T es un operador y que extiende a T . A su vez debeser la clausura pues tomamos su dominio más pequeño.Observación 2.2Con la construcción anterior, la norma natural en dom(T ) viene dada por√‖v‖ dom(T ) = ‖v|‖ 2 H + ‖T v‖2 HEsta norma proviene del producto interno〈v, w〉 dom(T ) = 〈v, w〉 H + 〈T v, T w〉 HY por tanto dom(T ) es de hecho un Hilbert pues la completitud es aseguradapor a misma definición de T .Definición 2.10 (Adjunto de un operador)Si T : dom(T ) −→ H es un operador, consideremos el conjuntodom(T ∗ ) = {ψ ∈ H : ∃ η ∈ H tal que 〈T φ, ψ〉 = 〈φ, η〉 ∀φ ∈ dom(T )}Para todo ψ ∈ D(T ∗ ) definimos T ∗ ψ = η. La bilinealidad del producto internoasegura la linealidad de T ∗ . Luego T ∗ es un operador y es llamado el adjuntode T .Observación 2.3El conjunto dom(T ∗ ) puede no ser denso en H.Definición 2.11 (Operador simétrico)Un operador T se dice simétrico si T ∗ ⊃ T . Equivalentemente, T es simétrico26

2.3 Análisis Funcional de operadores no acotadossi y sólo si ∀ φ, ψ ∈ dom(T )〈T φ, ψ〉 = 〈φ, T ψ〉Definición 2.12 (Operador autoadjunto)Al igual que en la teoría de operadores acotados, diremos que un operador Tes autoadjunto si T = T ∗ . En nuestro contexto esto significa que T es simétricoy que dom(T ) = dom(T ∗ ).Definición 2.13Un operador T se dice esencialmente autoadjunto si su clausura es autoadjunta.El Laplaciano usual como operadorConsideremos f : R n −→ R una función Borel medible de crecimiento polinomial,y definamos el operadorf(D) = f(D e1 , ..., D en )donde D ei es el operador que actúa derivando respecto a la variable i-ésima.Consideramos como dominio de f(D) el conjunto dom f(D) = F −1 [dom M f ],donde M f denota al operador de multiplicación, es decir, dom(M f ) = {h ∈L 2 (R n ): fh ∈ L 2 (R n )} y M f h = f h.Entonces, si ψ ∈ dom f(D)f(D)ψ = F −1 M f FψProbaremos que así definido f(D) resulta autoadjunto. Si ψ, ϕ ∈ dom f(D)entonces∫ ∫〈f(D)ψ, ϕ〉 = (f ˆψ)ˇϕ = f ˆψ ˆϕR n ∫R n= ˆψ(f ˆϕ) = ψ(f ˆϕ)ˇ = 〈ψ, f(D)ϕ〉∫R n R nde donde f(D) es simétrico.Teorema 2.5Si g : R n −→ R es una función de crecimiento polinomial entonces M g esesencialmente autoadjunto.27

Herramientas del Análisis FuncionalEste teorema permite probar el siguiente, de donde se deduce el resultado quequeremos.Teorema 2.6Si f : R n −→ R es una función Borel medible de crecimiento polinomial entonces:1. dom f(D) ⊃ C ∞ 0 (R n ).2. f(D)| C ∞0 (R n ) es esencialmente autoadjunto.Observemos primero que Luego, f(D)| C ∞0 (R n ) es esencialmente autoadjunto ypor tanto su clausura f(D) es autoadjunta.Consideremos ahora la función f : R n −→ R conf(x 1 , ..., x n ) =n∑ix 2 i∀(x 1 , ..., x n ) ∈ R n , y el operador f(D), i.e.f(D)ψ =n∑∂ 2∂x 2 i=1 iψComo f es de crecimiento polinomial, el operador f(D) es esencialmente autoadjunto.El Laplaciano ∆ se define como la única extensión autoadjuntade f(D).2.4. Espacios de Sobolev2.4.1. Espacios de Sobolev en R nDado s ∈ R definimos el espacio de Sobolev H s (R n ) comoH s (R n ) = {f ∈ S ′ (R n ): (1 + |ξ| 2 ) s/2 ˆf ∈ L 2 (R n )}H s (R n ) es un espacio de Hilbert con producto interno∫〈f, g〉 = ˆf(ξ)g(ξ)(1 + |ξ| 2 ) s dξ28

2.4 Espacios de SobolevY por tanto la norma inducida es∫‖f‖ 2 s = (1 + |ξ| 2 ) s | ˆf(ξ)| 2 dξR nObservación 2.4Por la proposición 2.2 es inmediato que H 0 (R n ) = L 2 (R n ).Proposición 2.71. Si s, s ′ ∈ R con s ′ > s entonces H s′ (R n ) ⊂ H s (R n ). Además, la inclusióni: H s′ (R n ) −→ H s (R n ) es continua.2. FH s = L 2 (R n , (1 + |ξ| 2 ) s dξ)3. (H s (R n )) ∗ es isométricamente isomorfo a H −s (R n ).Demostración:La afirmación 2 es evidente. Demostraremos 1 y 3 :(1) Si s > s ′ entonces (1 + |ξ| 2 ) s′ /2 ≤ (1 + |ξ| 2 ) s/2 , por lo que si f ∈ H s (R n )∫‖f‖ 2 s∫R ≤ (1 + |ξ| 2 ) ′ s′ /2 | ˆf(ξ)| 2 dξ ≤ (1 + |ξ| 2 ) s/2 | ˆf(ξ)| 2 dξ = ‖f‖ 2 s < ∞n R ny por tanto f ∈ H s′ (R n ). Además, la inclusión i: H s (R n ) −→ H s′ (R n ) resultacontinua pues‖i(f)‖ s ′ = ‖f‖ s ′ ≤ ‖f‖ s(3) Dadas f ∈ H s (R n ) y g ∈ H −s (R n ), tenemos que∫| ˆf(ξ)ĝ(ξ)|dξR n =∫| ˆf(ξ)|(1 + |ξ| 2 ) s/2 |ĝ(ξ)|(1 + |ξ| 2 ) −s/2 dξR n≤‖f‖ s ‖g‖ −s < ∞donde utilizamos la desigualdad de Cauchy-Schwartz.Si definimos ψ g : H s (R n ) −→ C como29∫ψ g (f) =R nˆ f(ξ)ĝ(ξ)dξ

Herramientas del Análisis Funcionalentonces ψ g resulta un funcional continuo. Recíprocamente, dado ψ ∈ (H s (R n )) ∗existe, por el teorema de Riesz, un único elemento h ∈ H s (R n ) tal que ∀f ∈H s (R n )∫ψ(f) = 〈f, h〉 =R nˆ f(ξ)ĥ(ξ)dξTomemos g como la función cuya trasformada de Fourier resulta ĝ(ξ) = (1 +|ξ| 2 ) s ĥ(ξ) ∀ξ ∈ R n . Observemos que∫∫∫(1+|ξ| 2 ) −s |ĝ| 2 (ξ)dξ =R n (1+|ξ| 2 ) −s (1+|ξ| 2 ) s |ĥ(ξ)|2 dξ =R n |ĥ(ξ)|2 dξ < ∞R npor lo que g ∈ H −s (R n ).Luego, para toda f ∈ H s (R n )∫ψ(f) =R nˆ f(ξ)ĝ(ξ)dξ = ψ g (f)Obtuvimos entonces un isomorfismo lineal entre H −s (R n ) y (H s (R n )) ∗Además observemos que‖ψ g ‖ 2 = ‖h‖ 2 s =∫(1 + |ξ| 2 ) s |ĥ(ξ)|2 dξ =R n ∫(1 + |ξ| 2 ) −s |ĝ(ξ)| 2 dξ = ‖g‖ 2 −sR npor lo que el isomorfismo es una isometría.□Observación 2.5El teorema anterior implica que los elementos de H s (R n ) para s > 0 puedenser vistos como elementos de L 2 (R n ).Teorema 2.8Si m ∈ N entoncesH m (R n ) = {f ∈ S ′ (R n ): D α f ∈ L 2 (R n ) ∀ 0 ≤ |α| ≤ m}Corolario 2.9Si m ∈ N entoncesH m (R n ) = {u ∈ L 2 (R n ): D α u ∈ L 2 (R n ) ∀ 0 ≤ |α| ≤ m}30

2.4 Espacios de SobolevDefinición 2.14Dado R ∈ R, R > 0, los Espacios de Sobolev H s R (Rn ) son los conjuntosH s R(R n ) = {u ∈ H s (R n ): sop (u) ⊂ B(0, R)}Como H s R (Rn ) es un subespacio cerrado de H s (R n ) es también un espacio deHilbert con la norma heredada.2.4.2. Espacios de Sobolev: construcción generalConsideremos la función ‖ · ‖ k : L 2 (M) −→ R ∪ {+∞} definida por√ ( ∑ )‖u‖ k = ‖D α u‖ 20≤|α|≤kEn el conjunto {u ∈ C k (M) : ‖u‖ k < +∞} ⊂ L 2 (M) la función ‖ · ‖ k es unanorma, y llamaremos H k (M) a su completación respecto a esta norma.Con esta construcción no es evidente qué tipo de objetos conforman H k (M).Veremos más adelante que H k (M) es de hecho un subconjunto de L 2 (M).Consideremos, para k ∈ N, los conjuntosW k (M) = {u ∈ L 2 (M): D α u ∈ L 2 (M), ∀α tal que 0 ≤ |α| ≤ k}Donde D α u es la derivada débil. Observamos que como L 2 (M) ⊂ L 1 loc (M),existe la derivada débil para toda u ∈ L 2 (M). Equipemos entonces W k (M)con la norma ‖ · ‖ k . Notaremos W k 0 (M) a la clausura de C ∞ 0 (M) en W k (M)Teorema 2.10W k (M) es un espacio de Banach.Demostración:Tomemos {u n } una sucesión de Cauchy en W k (M). {D α u n } es una sucesiónde Cauchy en L 2 (M) ∀ 0 ≤ |α| ≤ k y como L 2 es completo existen vectoresu α ∈ L 2 (M) tal que D α u n −→ u α . Como L 2 (M) ⊂ L 1 loc (M) consideremos lasdistribuciones T D α u ny T uα . Luego si φ ∈ D tenemos que∫|T D α u nφ − T uα φ| ≤ |D α u n (x) − u α (x)||φ(x)|dx ≤ ||φ|| L 2||D α u n − u α || L 2Mpor la desigualdad de Cauchy-Schwartz, por lo que T D α u nφ −→ T uα φ ∀φ ∈ D.Luego31

Herramientas del Análisis FuncionalT uα φ = límnT D α u nφ = límn(−1) |α| T un (D α φ) = (−1) |α| T u0 (D α φ)∀φ ∈ D. Por lo tanto, u α = D α u 0 en el sentido de las distribuciones, y estoimplica que que u ∈ W k (M). Luego tenemos que lím n ||u n −u 0 || k = 0 de donde{u n } es convergente y por tanto W k (M) es completo.□Observación 2.6El conjunto B = {u ∈ C k (M) : ‖u‖ k < +∞} está contenido en W k . Estoimplica que la identidad i: B −→ B ⊂ W k se extiende a un isomorfismoisométrico entre H k y la clausura de B en W k . Identificando H k con su imagenpor este isomorfismo obtenemos el siguiente resultado.Corolario 2.11Para todo k ∈ Z, H k (M) ⊂ W k (M).Concluimos así que podemos entender a los objetos de H k (M) como funcionesde L 2 (M) que poseen derivadas débiles hasta orden |α|.2.4.3. H s (R n ) como el dominio del Laplaciano.Otra manera equivalente de ver los Espacios de Sobolev es la siguiente:DefinamosH s (R n ) := dom[(∆ + I) s/2 ]equipado con la norma‖f‖ H s (∆) = ‖(∆ + I) s/2 f‖Observemos que coincide, como conjunto, con la definición dada al comienzode la seccióndom[(∆ + I) s/2 ] = {f ∈ L 2 (R n ): (∆ ̂ + I)s/2f ∈ L 2 (R n )}= {f ∈ L 2 (R n ): (1 + |ξ| 2 ) s/2 ˆf ∈ L 2 (R n )} = H s (R n )A su vez∫‖f‖ 2 H s (∆) = ‖(∆ + I) s/2 f‖ 2 = |(∆ + I) s/2 f| 2 (x)dx∫R n= (1 + |ξ| 2 ) s | ˆf 2 |(ξ)dξ = ‖f‖ 2 sR npor lo que las normas son las mismas y por tanto las definiciones equivalentes.32

2.4 Espacios de Sobolev2.4.4. Equivalencias y conclusiones.A continuación mostraremos que, a nuestros efectos, los distintos espacios deSobolev son esencialmente los mismos.Teorema 2.12(I) Las normas ‖ · ‖ L 2 (R n ) y ‖ · ‖ L 2 (R n , dω g) en L 2 (R n ) son equivalentes.(II) Las siguientes normas en H 2 (R n ) son equivalentes1. ‖u‖ H 2 (R n ) = ∫ R n (1 + |ξ| 2 ) 2 |û(ξ)| 2 dξ2. ‖u‖ 2 =3. ‖u‖ 2, g =() 1/2‖u‖ 2 L 2 (R n ) + ‖∇u‖2 L 2 (R n )() 1/2‖u‖ 2 L 2 (R n ,dω + ‖∇ g) gu‖ 2 L 2 (R n , dω g)Demostración:(I) Consideremos la identidad id: (R n , 〈·, ·〉 g ) −→ (R n , 〈·, ·〉) preservando orientación,y siendo 〈·, ·〉 el producto interno usual en R n . Sea {v 1 , ..., v n } unabase ortonormal de R n respecto de 〈·, ·〉 g y {e 1 , ..., e n } la base canónica deR n . Por la observación 1.1 sabemos que si P = B [id] C entonces G = P t Py det P = √ det G. Como G es una matriz simétrica real definida positiva,|det G| < ∞, |det G −1 | < ∞, ‖G‖ < ∞ y ‖G −1 ‖ < ∞, por lo que existen c 1 ,c 2 , C 1 y C 2 ∈ R + tal queAhora,‖u‖ 2 L 2 (R n , dω g) =1c 1≤ |det P | ≤ C 1=Una cuenta análoga muestra quey1c 2≤ ‖P ‖ ≤ C 2∫∫|u(x)| 2 dω g (x) = id ∗ (|u(x)| 2 dω g (x))∫R n R n ∫|u(x)| 2 |det P |dx ≤ C |u(x)| 2 dx = C 1 ‖u‖ 2 L 2 (R n )R n R n‖u‖ 2 L 2 (R n ) ≤ c 1‖u‖ 2 L 2 (R n , dω g)(II) Las normas 1 y 2 son de hecho las mismas ya que∫∫‖u‖ 2 H 2 (R n )∫R = (1 + |ξ| 2 ) 2 |û(ξ)| 2 dξ = |û(ξ)| 2 dξ + |ξ| 2 |û(ξ)| 2 dξn R n R n33

Herramientas del Análisis FuncionalObservemos que el último término se puede reescribir como∫∫∑∫2∑|ξ| 2 |û(ξ)| 2 dξ = |ξ i û(ξ)| 2 ̂∂udξ =(ξ)dξR n R n iR ∣∂x n i i ∣= ∑ ∫ ∣ 2 ∣∣∣∣̂∂u(ξ)dξ = ∑ ∫ ∣ ∣∣∣2∂u(x)i R ∂x n i ∣i R ∂x n i∣ dx∫∑2 ∫=∂u∣ (x)R ∂x n i∣ dx = |∇u(x)| 2 dxR nPor lo que‖u‖ 2 H 2 (R n ) = ‖u‖2 L 2 (R n ) + ‖∇u‖2 L 2 (R n ) = ‖u‖2 2iPara ver que 2 y 3 son equivalentes, recordemos que ∇ g = G −1 ∇. Entonces,|∇ g u| ≤ ‖G −1 ‖ |∇u|Luego‖u‖ 2 2, g = ‖u‖ 2 L 2 (R n , dω + ‖∇ g) gu‖ 2 L 2 (R n , dω g)≤ ‖u‖ 2 L 2 (R n , dω + g) ‖G−1 ‖ 2 ‖∇u‖ 2 L 2 (R n , dω g)≤ C 1 ‖u‖ 2 L 2 (R n ) + C 1‖G −1 ‖ 2 ‖∇u‖ 2 L 2 (R n )≤ C‖u‖ 2 2y análogamente‖u‖ 2 2 ≤ C ′ ‖u‖ 2 2, g□Observación 2.7Para H k (R n ) con k ∈ Z + , vale un resultado análogo a lo demostrado en laparte (II) de el teorema. De hecho, la demostración del mismo también esanáloga.En lo que resta de la sección probaremos un teorema que resultará clave paranuestro trabajo.Teorema 2.13La inclusión i: H 1 R (Rn ) −→ H 0 R (Rn ) es compacta.Para probar este resultado nos auxiliaremos del siguiente lema.34

2.4 Espacios de SobolevLema 2.14Si u ∈ H 1 (R n ) entonces existe C > 0 tal queDemostración:∫R n |u(x + h) − u(x)| 2 dx ≤ C 2 |h| 2 ‖u‖ 2 1==≤∫∫|u(x + h) − u(x)| 2 dx = |û(x + h) − û(x)| 2 dx∫R n ∫R n|e i〈x,h〉 û(x) − û(x)| 2 dx = |e i〈x,h〉 − 1| 2 |û(x)| 2 dxR n R∫ ∣ n∣∣∣ e i〈x,h〉 2∫ ∣ − 1∣∣∣ R 〈x, h〉 ∣ |〈x, h〉| 2 |û(x)| 2 dx ≤ |h| 2 e i〈x,h〉 − 1n R 〈x, h〉 ∣∫∫nC|h| 2 ‖x‖ 2 |û(x)| 2 dx = C|h| 2 | ̂∇u(x)| 2 dxR n R n2‖x‖ 2 |û(x)| 2 dx= C|h| 2 ∫R n |∇u(x)| 2 dx ≤ C|h| 2 ‖u‖ 2 1□Demostración del teorema:Sea B = {u ∈ H 1 R (Rn ): ‖u‖ 1 ≤ 1} la bola unidad en H 1 R (Rn ). Queremos probarque i(B) ⊂ H 0 R (Rn ) es precompacta, para lo cual utilizaremos el siguientecriterio:Un conjunto K en un espacio métrico es precompacto si y sólo si admite unaε-red para todo ε > 0.Consideremos la familia {J η ∗ u: u ∈ H 1 R (Rn ), η > 0}, donde J η : R n −→ Rson funciones positivas de clase C ∞ que se anulan fuera de la bola B(0, η) y∫R n J η (x)dx = 1.Parte I:Para cada η > 0 fijo, la familia K η(C(B(0, R)), ‖ · ‖ ∞ )= {J η ∗ u: u ∈ B} es precompacta enPara demostrar esto utilizaremos el teorema de Ascoli-Arzela; vamos a verificarque estamos en hipótesis.Veamos la continuidad. Tomemos ε > 0 y u ∈ H 1 R (Rn ).35

Herramientas del Análisis Funcional|J η ∗ u(x) − u(x)| 2 ===≤∫2∣ J η (y)u(x − y)dy − u(x)∣R ∫n ∫∣ J η (y)u(x − y)dy − J η (y)u(x)dy∣R n R ∫n 2∣ J η (y)[u(x − y) − u(x)]dy∣R∫n J η (y)|u(x − y) − u(x)| 2 dyR n2Para ver última desigualdad consideremos la medida µ η definida por∫∫ϕ(y)dµ η (y) = ϕ(y)J η (y)dyR n R nComo la función | · | 2 es convexa y µ η es una medida de probabilidad, vale ladesigualdad de Jensen y por tantoAhora,∫2∫2∣ J η (y)[u(x − y) − u(x)]dy∣ =∣ [u(x − y) − u(x)]dµ η (y)∣R n R∫∫n≤ |u(x − y) − u(x)| 2 dµ η (y) = J η (y)|u(x − y) − u(x)| 2 dyR n R n∫R n |J η ∗ u(x) − u(x)| 2 dx[∫]≤ J η (y)|u(x − y) − u(x)|∫R 2 dy dxn R∫n [∫]= J η (y) |u(x − y) − u(x)| 2 dx dyR n R n≤ C∫R 2 J η (y)|y| 2 dy∫n≤ C 2 J η (y)|y| 2 dyB(0,η)∫≤ C 2 |η| 2 J η (y)dy = C 2 |η| 2B(0,η)lo que implica‖J η ∗ u − u‖ L 2 ≤ C|η| (2.8)36

2.4 Espacios de SobolevAdoptemos la notación u η = J η ∗ u. Luego,|u η (x + h) − u η (x)| =∫=∣ J η (y)[u(x + h − y) − u(x − y)]dy∣R∫n≤ J η (y)|u(x + h − y) − u(x − y)|dyR[∫n ] 1/2 [∫≤ Jη 2 (y)dy |u(x + h − y) − u(x − y)| 2 dyR n R n≤ C η[∫R n |u(z + h) − u(z)| 2 dz≤ C η |h| 2 ‖u‖ 2 1 ≤ C ′ η|h| 2Por lo que si δ < √ ε, entonces |uC η′ η (x + h) − u η (x)| < ε. Observemos que δ nodepende de u, por lo que a su vez obtenemos la equicontinuidad.] 1/2La acotación puntual es inmediata ya que∫|J η ∗ u(x)| =∣ J η (y)u(x − y)dy∣ ≤ ‖J η‖ 0 ‖u‖ 0 C ηR nParte II:Por la ecuación 2.8 existe η 0 tal que para toda u ∈ H 1 R (Rn )] 1/2‖J η0 ∗ u − u‖ 0 < ε 2Como por la parte (I) K η0 es precompacto, existe una ( √ ε)-red {ψ 2ν 1, ..., ψ n },con ν = vol B(0, R). Luego, para toda u η0 ∈ K η0 existe i ∈ {1, ..., n} tal que‖u η0 − ψ i ‖ ∞

Herramientas del Análisis Funcional□Corolario 2.15Para todo k ∈ N la inclusión i: H k R (Rn ) −→ H 0 R (Rn ) es compacta.Demostración:Este resultado es inmediato del hecho que i: H k (R n ) −→ H k−1 (R n ) es continuay por tanto i: HR k (Rn ) −→ H k−1R(Rn ) también lo es.□38

Capítulo 3Primeros Resultados en R nTeorema 3.1El Laplaciano ∆ g : H k (R n , ‖·‖ k ) −→ H k−2 (R n , ‖·‖ k−2 ) es un operador continuo∀ k ≥ 2, k ∈ Z.Demostración:Consideremos primero ∆ g : (C ∞ (R n ), ‖·‖ ∞ ) −→ (C ∞ (R n ), ‖·‖ ∞ ). Es claro queeste operador es continuo ya que si {f n } ⊂ C ∞ (R n ) es una sucesión convergentef n ⇒ f =⇒ ∆ g f n ⇒ ∆ g fLuego, como C ∞ (R n ) es denso en H k (R n , ‖ · ‖ k ), existe una única extensióncontinua ∆ g : H k (R n , ‖ · ‖ k ) −→ (C ∞ (R n ), ‖ · ‖ ∞ ). Además, sabemos que siu ∈ H k (R n ) entonces ∆ g u ∈ H k−2 (R n ), por lo que obtenemos el resultado.□Teorema 3.2El Laplaciano ∆ g : H 2 (R n , dω g ) −→ L 2 (R n , dω g ) es un operador simétrico.Demostración:Sean u, v ∈ C ∞ 0 (R n ). Si llamamos M a un abierto que contenga a los soportesde u y v, por 1.2 sabemos que vale〈∆ g u, v〉 = 〈u, ∆ g v〉Como C ∞ 0 (R n ) es denso en H 2 (R n ) y ∆ g : H 2 (R n ) −→ L 2 (R n ) es continuo,este último resulta simétrico.□Teorema 3.3El Laplaciano ∆ g : H 2 (R n , dω g ) −→ L 2 (R n , dω g ) es un operador “positivo”.39

Primeros Resultados en R nDemostración:Tomemos u ∈ C ∞ 0 (R n ) y M un abierto que contenga al soporte de u. Luego, porel teorema 1.3 sabemos que 〈∆ g u, u〉 ≥ 0. Como ∆ g : H 2 (R n ) −→ L 2 (R n ) escontinuo y C ∞ 0 (R n ) es denso en H 2 (R n ), tenemos que ∆ g : H 2 (R n ) −→ L 2 (R n )también es positivo.□Lema 3.4Si r, s ∈ R entonces (∆+I) r : H s (R n ) −→ H s−2r (R n ) es un operador unitario.Demostración:‖(∆ + I) r u‖ 2 s−2r ===∫(1 + |ξ| 2 ) s−2r | (∆ ̂ + I)r u| 2 (ξ)dξ∫R n (1 + |ξ| 2 ) s−2r (1 + |ξ| 2 ) 2r |û| 2 (ξ)dξ∫R n (1 + |ξ| 2 ) s |û| 2 (ξ)dξ = ‖u‖ 2 sR n□Definición 3.1Un operador P : H 1 (R n ) −→ H −1 (R n ) se dice coercitivo si es continuo y existennúmeros reales γ 0 , γ 1 > 0 tal que∀ u ∈ H 1 (R n ).Re〈P u, u〉 ≥ γ 1 ‖u‖ 1 − γ 0 ‖u‖ 0Lema 3.5Si P : H 1 (R n ) −→ H −1 (R n ) es un operador coercitivo y Q: H 1 (R n ) −→ H 0 (R n )es un operador continuo, entonces la suma P + Q: H 1 (R n ) −→ H −1 (R n ) estambién un operador coercitivo.Demostración:Sabemos que ∃ γ 0 , γ 1 y K ∈ R + tal que si u ∈ H 1 (R n )Re〈P u, u〉 ≥ γ 1 ‖u‖ 1 − γ 0 ‖u‖ 0y|〈Qu, u〉| ≤ ‖Qu‖ 0 ‖u‖ 0 ≤ K‖u‖ 1 ‖u‖ 0 ≤ γ 12 ‖u‖2 1 + 2 γ 1K 2 ‖u‖ 2 040

donde la última desigualdad se debe a que√ √γ1 20 ≤ (2 ‖u‖ 1 − K‖u‖ 0 ) 2 ≤ γ 1γ 1 2 ‖u‖2 1 − K‖u‖ 1 ‖u‖ 0 + 2 K 2 ‖u‖ 2 0γ 1Luego tenemos queRe〈(P + Q)u, u〉 ≥ γ 12 ‖u‖2 1 −y por tanto P + Q es coercitivo.[γ 0 + 2 γ 1K 2 ]‖u‖ 2 0□Lema 3.6El Laplaciano ∆ g : H 1 (R n ) −→ H −1 (R n ) es un operador coercitivo.Demostración:Veamos primero la continuidad. Tomemos u ∈ C0 ∞ (R n ). Luego∫∫‖∆ g u‖ −1 = sup ∆ g u · v dω g ≤ sup ∇ g u ∇ g v dω g‖v‖ 1 =1 R n ‖v‖ 1 =1 R n≤ ‖∇ g u‖ 0 ‖∇ g v‖ 0 ≤ ‖u‖ H 1‖v‖ H 1 ≤ γ 0 ‖u‖ 1 ‖v‖ 1 = γ 0 ‖u‖ 1Donde el número γ 0 proviene de que las normas en H 1 (R n ) son equivalentes ypor tanto ∃ γ 0 , γ 1 ∈ R + tal que √ γ 1 ‖u‖ 1 ≤ ‖u‖ H 1 ≤ √ γ 0 ‖u‖ 1 ∀u ∈ H 1 (R n ).Luego ‖∆ g u‖ −1 ≤ γ 0 ‖u‖ 1 y ∆ g : C0 ∞ (R n ) −→ H −1 (R n ) es continuo. ComoC0 ∞ (R n ) es denso en H 1 (R n ), hay una única extensión continua a todo H 1 (R n ).Vale la pena notar que existen funciones en H 1 (R n ) que no poseen derivadassegundas por lo que pensamos que el operador ∆ g actúa derivando débilmente.Vimos previamente que si u ∈ C0 ∞ (R n ) entonces∫〈∆ g u, u〉 = ∆ g u · u dω g = ‖|∇ g u|‖ 2 0R npor lo que〈∆ g u, u〉 = ‖|∇ g u|‖ 2 0 + ‖u‖ 2 0 − ‖u‖ 2 0 = ‖u‖ 2 H 1 − ‖u‖2 0 ≥ γ 1 ‖u‖ 2 1 − ‖u‖ 2 0Sea {u n } ⊂ C ∞ 0 (R n ) tal que ‖u n − u‖ 1 −→ 0. Tenemos por un lado queAdemás, ∃K ∈ R + tal que41γ 1 ‖u n ‖ 2 1 − ‖u n ‖ 2 0 −→ γ 1 ‖u‖ 2 1 − ‖u‖ 2 0〈∆ g u n , u n 〉 = ‖|∇ g u n |‖ 2 0 ≤ K‖|∇ g u|‖ 2 0

Primeros Resultados en R nLuego, por el teorema de convergencia dominada tenemos quelím 〈∆ g u n , u n 〉 = límn n∆ g u n ·u n =∫R n ∫lím ∆ g u n ·u n =R n n∫∆ g u·u = 〈∆ g u, u〉R nObservamos que utilizamos la convergencia en H 1 (R n ) para intercambiar ellímite con el operador ∆ g , ya que este último es continuo allí.Así obtuvimos que ∀ u ∈ H 1 (R n )〈∆ g u, u〉 ≥ γ 1 ‖u‖ 2 1 − ‖u‖ 2 0□Teorema 3.7 (Interpolación)Si T : H s 0(R n ) −→ H t 0(R n ) es un operador continuo tal que T [H s 1(R n )] ⊂H t 1(R n ) para s 1 > s 0 y t 1 > t 0 entonces si s θ = (1 − θ)s 0 + θs 1 y t θ =(1 − θ)t 0 + θt 1 para algún θ ∈ [0, 1] entonces T : H s θ (R n ) −→ H t θ (R n ) escontinuo.Corolario 3.8Si T : H s 0(R n ) −→ H t 0(R n ) y T : H s 1(R n ) −→ H t 1(R n ) son biyectivas entoncesH s θ (R n ) −→ H t θ (R n ) es un homeomorfismo ∀θ ∈ [0, 1].A continuación demostraremos uno de los teoremas más importantes de estasnotas.Teorema 3.9Sea g una métrica Riemanniana en R n tal que g coincide con la métricaEuclídea en B(0, 2) c . Entonces, el Laplaciano ∆ g : HR 2 (Rn ) −→ L 2 R (Rn ) esDiagonalizable en una base ortonormal de L 2 R (Rn ).Demostración:Parte I: Si P : H 1 (R n ) −→ H −1 (R n ) es un operador coercitivo entonces ∃ γ 0tal que el operador P + γI : H 1 (R n ) −→ H −1 (R n ) es biyectivo ∀γ ≥ γ 0 .Observemos queRe〈(P + γI)u, u〉 = Re〈P u, u〉 + γ‖u‖ 2 0 ≥ γ 1 ‖u‖ 2 1 − ‖u‖ 2 0 + γ‖u‖ 2 0 ≥ γ 1 ‖u‖ 2 1de donde P + γI es inyectivo. Además,‖(P +γI)u‖ −1 ≥ 1 |〈(P +γI)u, u〉| ≥ 1 [ ]γ1 ‖u‖ 2 1 − ‖u‖ 2 0 + γ‖u‖ 2 0 ≥ ‖u‖1‖u‖ 1 ‖u‖ 142

Por lo que Im(P + γI) es un subespacio cerrado de H −1 (R n ).Veamos ahora que es sobreyectivo. Supongamos que no lo es, entonces porHahn-Banach ∃ F ∈ H −1 (R n ) tal que F ≠ 0 y F | Im(P +γI) = 0. Como (H −1 (R n )) ∗ ≃H 1 (R n ) esto es equivalente a decir que ∃ u ∈ H 1 (R n ), u ≠ 0, tal que φ(u) = 0∀φ ∈ Im(P + γI). En otras palabrasEn particular〈(P + γI)v, u〉 = 0 ∀v ∈ H 1 (R n )0 = 〈(P + γI)u, u〉 ≥ ‖u‖ 1por lo que u = 0 contradiciendo lo afirmado.Parte II: Para todo r ∈ Z, r ≥ 0, el operador (∆ g +γI): H r+2 (R n ) −→ H r (R n )es continuo y biyectivo ∀ γ ≥ σ(r).Definamos para todo r ∈ Z el operador P (r)1 : H 1 (R n ) −→ H −1 (R n ) porP (r)1 u = (∆ + I) r ∆ g (∆ + I) −r u∀ u ∈ H 1 (R n ). Llamemos T al operador T = (∆ + I) r ∆ g − ∆ g (∆ + I) r . LuegoT es un operador diferencial de orden ≤ 2r + 1, es decir que no aparecen derivadasde orden 2r + 2. Observemos eso:Supongamos primero que r = 1. Entonces,T u = (∆ + I)∆ g u − ∆ g (∆ + I)u = ∆∆ g u + ∆ g u − ∆ g ∆u − ∆ g= ∆∆ g u − ∆ g ∆uy consideremos T = ∆∆ g − ∆ g ∆: H 3 (R n ) −→ H −1 (R n ).El operador T es continuo pues los mapas∆: H 1 (R n ) −→ H −1 (R n ) ∆: H 3 (R n ) −→ H 1 (R n )lo son.∆ g : H 1 (R n ) −→ H −1 (R n ) ∆ g : H 3 (R n ) −→ H 1 (R n )Para simplificar notación escribiremos∆ = ∑ k∂ 2 k∆ g = a ∑ ij∂ i a ij ∂ jCalculemos ∆∆ g = ∑ k ∂2 k ∆ g :[∂k∆ 2 g = ∂k2 a ∑ ij∂ i a ij ∂ j]43

Primeros Resultados en R n= ∂ka ∑ 2 ∂ i a ij ∂ j + 2∂ k a ∑ ∂ k ∂ i a ij ∂ j + a ∑ ∂k∂ 2 i a ij ∂ jijijijObservamos que el único término que podría involucrar derivadas de orden 4es el último sumando del miembro de la derecha, por lo que lo desarrollaremosun poco más.a ∑ ij∂ 2 k∂ i a ij ∂ j = a ∑ ij∂ 2 k[∂ i a ij ∂ j + a ij ∂ i ∂ j ]= a ∑ ij∂ 2 k[∂ i a ij ∂ j ] + a ∑ ij[∂ 2 ka ij ∂ i ∂ j + 2∂ k a ij ∂ i ∂ j + a ij ∂ 2 k∂ i ∂ j ]De donde ∆∆ g se escribe como∆∆ g = T 3 + a ∑ ijka ij ∂ 2 k∂ i ∂ jcon T 3 un operador que involucra derivadas hasta orden 3. Por otro lado,∆ g ∆ = a ∑ [ ( )] ∑∂ i a ij ∂ j ∂k2ijk= a ∑ ij= a ∑ ij[]∑ ∑∂ i a ij ∂ j ∂k 2 + a ij ∂ i ∂ j ∂k2kk[]∑∂ i a ij ∂ j ∂k2 + a ∑ a ij ∂ i ∂ j ∂k2ijkkpor lo que ∆ g ∆ se escribe como∆ g ∆ = T ′ 3 + a ∑ ijka ij ∂ i ∂ j ∂ 2 kcon T ′ 3 un operador que involucra derivadas hasta orden 3.Luego podemos escribir T = T 3 − T ′ 3 + R, donde R resultaR = ∑ ijka ij ∂ 2 k∂ i ∂ j − ∑ ijka ij ∂ i ∂ j ∂ 2 kSi tomamos u ∈ C ∞ (R n ) entonces, por los teoremas de intercambio de derivadasde Schwartz, Ru = 0, y por tanto T [C ∞ (R n )] ⊆ H 0 (R n ). Luego, como Tes continua y C ∞ (R n ) es denso en H 3 (R n ) resultaT : H 3 (R n ) −→ H 0 (R n )44

lo que implica que R = 0, pues de lo contrario existiría v ∈ H −1 (R n ) ∩ Im T .Concluimos entonces que∆∆ g − ∆ g ∆ = T 3 − T ′ 3por lo que no se involucran derivadas cuartas.Para otro entero r > 1 puede probarse por inducción completa, utilizandola fórmula del binomio de Newton para desarrollar la expresión (∆ + I) r .Luego, escribiendo (∆ + I) r ∆ g = ∆ g (∆ + I) r + T tenemos queP (r)1 = (∆ + I) r ∆ g (∆ + I) −r = ∆ g + T (∆ + I) −rObservamos que T (∆ + I) −r : H 1 (R n ) −→ H 0 (R n ) es un operador continuopues (∆ + I) −r : H 1 (R n ) −→ H 2r+1 (R n ) y T : H 2r+1 (R n ) −→ H 0 (R n ) lo son.Como además por el lema 3.6 ∆ g es coercitivo, el lema 3.5 implica que P (r)1también es coercitivo y por tanto está en las hipótesis de la Parte I. Por ende,∀ γ ≥ σ(r), P (r)1 + γI : H 2r+1 (R n ) −→ H 2r−1 (R n ) es biyectivo. Ahora, comoP (r)1 + γI = (∆ + I) r [∆ g + γI](∆ + I) −rel operador ∆ g + γI : H 2r+1 (R n ) −→ H 2r−1 (R n ) también es biyectivo y continuo∀ γ ≥ σ(r).Utilizando el teorema de interpolación se deduce el resultado de esta etapa.Observemos de qué manera:Dado r ∈ Z sabemos que existen σ(r) y σ(r) ′ de manera quees biyectivo y continuo ∀ γ ≥ σ(r) y(∆ g + γI): H 2r+1 (R n ) −→ H 2r−1 (R n )(∆ g + γI): H 2r+3 (R n ) −→ H 2r+1 (R n )es biyectivo y continuo ∀ γ ≥ σ(r) ′ . Luego, si tomamos ˜σ(r) = máx{σ(r), σ(r) ′ }obtenemos que ambos son biyectivos y continuos ∀ γ ≥ ˜σ(r).Luego, por el teorema de interpolación concluimos que(∆ g + γI): H 2r (R n ) −→ H 2r−2 (R n )también es biyectivo y continuo ∀ γ ≥ ˜σ(r).45

Primeros Resultados en R nObservación: Las partes 1 y 2 de este teorema valen en particular cuandolos operadores tienen dominio H s R (Rn ) en lugar de todo H s (R n ).Parte III: (∆ g + γI) −1 : H 0 R (Rn ) −→ H 0 R (Rn ) es un operador compacto y autoadjunto.Observamos que, por el teorema de la aplicación abierta, el operador(∆ g + γI) −1 : H 0 R(R n ) −→ H 2 R(R n )es también es continuo ∀ γ ≥ σ con σ = ˜σ(0). A su vez, por el teorema 2.15,la inclusión i: H 2 R (Rn ) −→ H 0 R (Rn ) es compacta, por lo que considerando(∆ g + γI) −1 : H 0 R (Rn ) −→ H 0 R (Rn ) comoH 0 R(R n ) −−−−−−→(∆ g+γI) −1 H 2 R(R n ) −−−→iH 0 R(R n )éste resulta un operador compacto, por ser composición de un continuo con uncompacto.Veamos ahora que (∆ g + γI) −1 : H 0 R (Rn ) −→ H 0 R (Rn ) es autoadjunto:Como C ∞ R (Rn ) es denso en H 2 R (Rn ), D = (∆ g + γI)(C ∞ R (Rn )) es denso enH 0 R (Rn ). Tomemos u 0 y v 0 en D. Luego existen u, v ∈ C ∞ R (Rn ) tal queu = (∆ g + γI)u 0 y v = (∆ g + γI)v 0 . Ahora,〈(∆ g + γI) −1 u, v〉 = 〈u 0 , (∆ g + γI)v 0 〉 = 〈(∆ g + γI)u 0 , v 0 〉 = 〈u, (∆ g + γI) −1 v〉por lo que (∆ g + γI) −1 | D es simétrico y por tanto (∆ g + γI) −1 : H 0 R (Rn ) −→H 0 R (Rn ) también lo es. Como además es continuo resulta autoadjunto.Luego, por el Teorema Espectral para operadores compactos y autoadjuntos,(∆ g + γI) −1 es diagonalizable en una base ortonormal de L 2 R (Rn ).Conclusión:Observamos que si λ es un valor propio de (∆ g + γI) −1 y u una función propiaasociada a λ, tenemos que(∆ g + γI) −1 u = λu ⇔ 1 λ u = (∆ g + γI)u ⇔ ∆ g u = [ 1 λ − γ]uPor tanto u es una función propia para (∆ g + γI) −1 si y sólo si es funciónpropia para ∆ g . De aquí se concluye que ∆ g es diagonalizable en una baseortonormal de L 2 R (Rn ), formada de hecho por funciones de H 2 R (Rn ).□46

Corolario 3.10Las funciones propias del Laplaciano ∆ g son de clase C ∞ .Demostración:Vimos que u es una función propia de ∆ g si y sólo si es función propia de(∆ g + γI) −1 . La imagen de (∆ g + γI) −1 es de hecho HR 2 (Rn ) y por tantou ∈ HR 2 (Rn ). Ahora consideramos (∆ g + γI) −1 : HR 2 (Rn ) −→ HR 2 (Rn ). Lafunción u será también propia para este operador, que de hecho tiene imagenHR 4 (Rn ) y por tanto u ∈ HR 4 (Rn ). Siguiendo esta razonamiento inductivamente,vemos que u ∈ HR 2k(Rn) para todo k lo que implica que u tiene derivadas detodos los órdenes.□Corolario 3.11Todos los valores propios de ∆ g son reales no negativos y tienen multiplicidadfinita.Demostración:Ya sabemos por 3.3 que los valores propios de ∆ g son reales no negativos. Como(∆ g + γI) −1 es compacto y autoadjunto, todos sus valores propios no nulostienen multiplicidad finita y por tanto los de ∆ g también. Sabemos ademásque el valor propio 0 de ∆ g tiene multiplicidad 1 ya que si ∆ g u = 0 tenemosque u ∈ C ∞ R (Rn )) y por tanto0 = 〈∆ g u, u〉 = 〈∇ g u, ∇ g u〉 = ‖|∇ g u|‖ 2de donde u es constante, i.e.: el subespacio propio asociado a 0 es el conjuntode las funciones constantes en C ∞ R (Rn ).□Corolario 3.12El espectro Spec(∆ g ) es un conjunto discreto tendiendo a infinito.Demostración:Sabemos que los valores propios de (∆ g + γI) −1 son un conjunto infinito,discreto, acotado y acumulando en el 0. Por ende, como los valores propios de∆ g vienen dados por 1 − γ, con λ valor propio de (∆ λ g + γI) −1 , el espectro de∆ g es un conjunto infinito, discreto y no acotado superiormente.□47

Primeros Resultados en R n48

Capítulo 4El Laplaciano en variedades4.1. LocalizaciónEn el capítulo 1 hicimos un estudio profundo del Laplaciano en el caso M = R nequipada con una métrica Riemanniana g. Queremos obtener ahora resultadossimilares definiendo el Laplaciano sobre una variedad Riemanniana M conmétrica g. Fundamentalmente, probar la existencia de una base ortonormalde L 2 (M) formada por funciones propias del Laplaciano ∆ g . Paraesto, es crucial la hipótesis de que la variedad M sea compacta. De lo contrario,el resultado es en general falso. Por cuestiones técnicas, pediremos además queM orientable, y sin borde. Pedimos además la hipótesis de conexión, que nogenera restricciones de ningún tipo, reduciéndose el caso no conexo a estudiarcada componente conexa.Comencemos considerando {(U 1 , h 1 ), ..., (U n , h n )} un atlas finito de M conh i : U i −→ B(0, 1) ⊂ R n ∀ i ∈ {1, ..., n}. Trabajaremos en esta sección coneste atlas.Consideremos p 1 , ..., p n una partición de la unidad C ∞ subordinada al cubrimiento{U 1 , ..., U n }, es decir1. p i : U i −→ R es una función de clase C ∞ con soporte compacto ∀ i ∈{1, ...n}2. p i ≥ 0 ∀ i ∈ {1, ...n}3. ∑ i p i(x) = 1 ∀ x ∈ MTeorema 4.1Dada (M, g) variedad Riemanniana compacta, conexa, sin borde y orientada,El Laplaciano ∆ g es diagonalizable en una base ortonormal de L 2 (M).49

El Laplaciano en variedadesDemostración:Utilizaremos varias ideas del teorema 3.9 junto con la técnica clásica de localizaciónpara utilizar los resultados obtenidos en el caso M = R n .Parte I: Existe γ ∈ R tal que ∆ g + γI : H 2 (M) −→ H 0 (M) es biyectivo∀γ ≥ γ.Definamos ∆ i en (R n , g i ) con g i una métrica Riemanniana tal que coincidecon la métrica Euclídea en B(0, 2) c y en B(0, 1) la definimos de la siguientemanera: Dado z ∈ B(0, 1) y v, w ∈ R n〈v, w〉 z = 〈(d z h −1i)v, (d z h −1 )w〉 h−1Observación: Definidas las métricas de esta manera, los mapas d x h i : T x M −→R n resultan isometrías ∀ x ∈ U i .Sabemos por el teorema 3.9 que ∆ i + γI : H 2 (R n ) −→ H 0 (R n ) es biyectivo∀ γ ≥ γ i . Llamemos γ = máx{γ 1 , ..., γ n }. Luego, para todo i ∈ {1, ..., n}es biyectivo ∀ γ ≥ γ.∆ i + γI : H 2 (R n ) −→ H 0 (R n )Tomemos γ ≥ γ y v ∈ H 0 (M) y definamosv i := p i vii(z)para todo i ∈ {1, ..., n}, y luego{ (pi v ◦ h −1i )(z) z ∈ B(0, 1)ˆv i (z) =0 z ∈ B(0, 1) cDe esta manera, v i ∈ H 0 (R n ) ∀ i ∈ {1, ..., n}. Luego sabemos que para cada iexiste û i ∈ H 2 (R n ) tal que(∆ i + γI)û i = ˆv iPara cada i existe V i ⊂ M abierto tal que U i ⊂ V i . Consideremos ˜h i : V i −→B(0, 2) una extensión de h de manera que ˜h i ∈ H 2 (M) y sea biyectiva. Definimosentonces u i : M −→ R como:{(ûi ◦u i (x) =˜h i )(x) x ∈ V i0 x ∈ (V i ) cde donde u i ∈ H 2 (V i ).50

4.1 LocalizaciónSabemos que u i | U ci= 0 pues û i es 0 en la bola B(0, 1) dado que ˆv i lo es.Entonces, si consideramos la restricción u i | Ui , tenemos que u i | Ui ∈ H 2 (U i )valiendo 0 en V i \U i . Como además u i es cero en (V i ) c , obtenemos que u i ∈H 2 (M), y su fórmula explícita viene dada poru i (x) ={ (ûi ◦ h i )(x) x ∈ U i0 x ∈ (U i ) cTenemos entonces que para cada i, en U i valeγû i + ∆ i û i = ˆv i⇔ γû i ◦ h i + ∆ i û i ◦ h i = ˆv i ◦ h i⇔ γu i + ∆ i û i ◦ h i = v iComo h i es una isometría tenemos que∆ g u i = ∆ g (û i ◦ h i ) = ∆ i û i ◦ h iy por tanto en U i(γ + ∆ g )u i = v iSi definimos u: M −→ R como u := ∑ ni=1 u i, entonces u ∈ H 2 (M) y verifican∑(γ + ∆ g )u = γu + ∆ g u = γ u i + ∆ g=i=1n∑γu i + ∆ g u i =i=1i=1n∑v i =n∑i=1u in∑p i v = vi=1Por lo que el operador ∆ g + γI : H 2 (M) −→ H 0 (M) es sobreyectivo.Como por el teorema3.3 ∆ g : H 2 (M) −→ H 0 (M) es positivo, tenemos que‖(∆ g + γI)u‖ 2 = ‖∆ g u‖ 2 + 2γ〈∆ g u, u〉 + |γ| 2 ‖u‖ 2 ≥ |γ| 2 ‖u‖ 2y el operador ∆ g + γI : H 2 (M) −→ H 0 (M) es inyectivo.Parte II: El operador ∆ g + γI : H 2 (M) −→ H 0 (M) es continuo.51

El Laplaciano en variedades‖(∆ g + γI)u‖ 2 = ‖=≤n∑(∆ g + γI)u i ‖ 2 ≤i=1n∑‖(∆ g + γI)u i ‖ 2i=1n∑‖(∆ g + γI)(û i ◦ h i )‖ 2 ≤i=1(máxiα i )n∑i=1Donde los α i se obtienen de la siguiente manera:n∑α i ‖u i ‖ 2i=1‖u i ‖ 2 ≤ máxiα i ‖u‖ 2‖(∆ g + γI)u i ‖ 2 = ‖(∆ g + γI)(û i ◦ h i )‖ 2 = ‖∆ i û i + γ u i ‖ 2= ‖∆ i û i + γ û i − γ û i + γ u i ‖ 2 ≤ ‖(∆ i + γI)û i ‖ 2 + |γ| 2 ‖û i ‖ 2 + |γ| 2 ‖u i ‖ 2≤ (K + |γ| 2 )‖û i ‖ 2 + |γ| 2 ‖u i ‖ 2 ≤ (K + |γ| 2 )‖u i ‖ 2 ‖h −1i ‖ 2 + |γ| 2 ‖u i ‖ 2≤ {[ (K + |γ| 2 )‖h −1i ‖ 2 ] + |γ| 2 }‖u i ‖ 2Parte III: El operador (∆ g + γI) −1 : H 0 (M) −→ H 0 (M) es compacto y autoadjunto,∀ γ ≥ γ.Probemos primero que es compacto. Al igual que en el caso H k R (Rn ), la inclusióni: H k (M) −→ H 0 (M) es compacta. Esta afirmación se deduce delteorema 2.15, ya que M es compacta y por tanto las funciones de H s (M) tienensoporte contenido en la bola de centro 0 ∈ R n y radio R = diam(M).Por la parte II sabemos que (∆ g + γI) −1 : H 0 (M) −→ H 2 (M) es continuo y,al igual que en la prueba de 3.9, (∆ g +γI) −1 : H 0 (M) −→ H 0 (M) es compacto.Veamos ahora que es autoadjunto. Como C ∞ (M) es denso en H 0 (M), D =(∆ g + γI)(C ∞ (M)) es denso en H 0 (M). Tomemos u 0 y v 0 en D. Luego ∃ u,v ∈ C ∞ (M) tal que u 0 = (∆ g + γI)u y v 0 = (∆ g + γI)v.Ahora,〈(∆ g + γI) −1 u 0 , v 0 〉 = 〈u, (∆ g + γI)v〉 = 〈 ∑ iu i , (∆ g + γI)( ∑ jv j )〉= 〈 ∑ iu i , ∑ j(∆ g + γI)v j 〉 = 〈 ∑ iu i , ∑ j((∆ g + γI)v) j 〉= ∑ ij〈u i , ((∆ g + γI)v) j 〉 = ∑ i〈u i , ((∆ g + γI)v) i 〉52

4.1 LocalizaciónObservemos lo siguiente:∫〈u i , ((∆ g + γI)v) i 〉 = u i (x)((∆ g + γI)v) i (x)dx∫R n= û i (h i (x))((∆ g + γI)ˆv(h i (x))) i dω g (x)∫M= û i (h i (x))((∆ i + γI)ˆv) i (h i (x))dω g (x) (4.1)∫M= û i (x)((∆ i + γI)ˆv) i (x)dxR n= 〈û i , ((∆ i + γI)ˆv) i 〉donde utilizamos la fórmula de cambio de variable y el hecho de que las h i sonisometrías, implicando esto último que |detJh i (x)| = 1 ∀x ∈ M.Una cuenta análoga muestra que〈((∆ g + γI)u) i , v i 〉 = 〈((∆ i + γI)û) i , ˆv i 〉De la prueba de 3.9 sabemos que (∆ i + γI) −1 es autoadjunto, por lo que〈(∆ g + γI) −1 u i 0, v i 0〉 = 〈u i , (∆ g + γI)v i 〉= 〈((∆ g + γI)u) i , v i 〉 = 〈u i 0, (∆ g + γI) −1 v i 0〉y por ende〈(∆ g + γI) −1 u 0 , v 0 〉 = 〈u 0 , (∆ g + γI) −1 v 0 〉Tenemos entonces que (∆ g + γI) −1 | D es autoadjunto, lo que implica que (∆ g +γI) −1 : H 0 (M) −→ H 0 (M) también lo es.De esta manera concluimos que ∆ g es diagonalizable en una base ortonormalde H 0 (M). En otras palabras, existe una base ortonormal deL 2 (M) formada por funciones propias de ∆ g .53□

El Laplaciano en variedadesObtenemos también los corolariosCorolario 4.2Las funciones propias del Laplaciano ∆ g son de clase C ∞ .Corolario 4.3Todos los valores propios de ∆ g tienen multiplicidad finita.Corolario 4.4El espectro Sp(∆ g ) es discreto.Teorema 4.5Para todo s ∈ Z, s ≥ 1 el operador (∆ g + γI): H s+2 (M) −→ H s (M) escontinuo y biyectivo ∀γ ≥ σ(s).4.2. El Laplaciano en la esfera S nAdoptemos la siguiente notación:Si p ∈ M notaremos B(p, ε) la bola geodésica centro p y radio ε, i.e. B(p, ε) =exp p [B(0, ε)] y el mapa exponencial exp p : B(0, ε) ⊂ T p M −→ B(p, ε) ⊂ M esun difeomorfismo.Si f : B(p, ε) −→ R y q ∈ M entonces el valor de f(q) sólo depende de ladistancia de q a p, por tanto f se puede escribir comof(q) = (ϕ ◦ r)(q)Donde r(q) = d(p, q) y ϕ es una cierta función ϕ: [0, ε) −→ R.Proposición 4.6 (El Laplaciano en coordenadas Polares)∆f = − ∂2 ϕ∂r − ∂ϕ ( θ′2 ∂r θ + n − 1 )rDonde θ = √ det(g ij ) al igual que antes.54

4.2 El Laplaciano en la esfera S nProposición 4.7Consideramos la esfera (S n , g 0 ) dentro de (R n+1 , g 0 ), siendo g 0 la métricaEuclídea de R n+1 , y para el caso de la esfera la métrica heredada. Entonces, sif : R n+1 −→ R es una función de clase C ∞ se verifica que∣(∆ Rn+1 f)| S n = ∆ Sn (f| S n) − ∂2 f ∣∣∣S− n ∂f∂r 2 n ∂r ∣S nDemostración:Sea x 0 ∈ S n y consideremos x 1 , ..., x n tal que el conjunto {x o , x 1 , ..., x n } esuna base ortonormal de R n+1 . A su vez, el conjunto {x 1 , ..., x n } es una baseortonormal de T x0 M. Consideremos, ∀i ∈ {1, ..., n}, las geodésicas de la esferaque pasan por x 0 con velocidad x i , es decirγ i (t) = cos t · x 0 + sin t · x id 2 (f ◦ γ i )(t) = − cos t ∂f (γdt 2i (0)) − sin t ∂2 f∂x 0por lo queLuego∆ Sn (f| S n)(x 0 ) = −−∂x 2 0d 2 (f ◦ γ i )(0) = − ∂f (xdt 20 ) + ∂2 f∂x 0= −n∑i=0n∑i=0∂ 2 (f ◦ γ i )(0) = −dt 2(γ i (0))sin t ∂f (γ i (0)) + cos t ∂2 f(γ i (0))∂x in∑i=0∂ 2 f(x∂x 2 0 ) + n ∂f (x 0 )i ∂x 0∂x 2 i(x 0 )Sabemos que el Laplaciano usual en R n+1 viene dado por(∆ Rn+1 f)(x) = −n∑i=0∂ 2 f(x) = −∂x 2 in∑i=1∂x 2 i[ ∂ 2 f+ (x∂x 2 0 ) − ∂f ](x 0 )i ∂x 0∂ 2 f∂x 2 i(x) + ∂2 f(x)∂x 2 0por lo tanto la restricción viene dada por la misma fórmula y tenemos que55(∆ Rn+1 f)| S n(x 0 ) = −n∑i=1∂ 2 f∂x 2 i(x 0 ) + ∂2 f(x∂x 2 0 )0= ∆ Sn (f| S n)(x 0 ) − n ∂f (x 0 ) − ∂2 f(x 0 )∂x 0∂x 2 0

El Laplaciano en variedadesAplicación 1.Notemos por r : R n+1 −→ R la función distancia al origen y consideremos paraα ∈ R la función r 2α . Observamos que esta función es de clase C 2 y que surestricción a la esfera S n es la función constante 1. Por esto, su Laplaciano enla esfera es cero y por la proposición anterior tenemos que∣(∆ Rn+1 r 2α )| S n = − ∂2 r 2α ∣∣∣S∂r 2 nObservamos además que− n ∂r2α∂r∣ = −2α(2α − 1) − n 2αS n∆ Rn+1 (r 2α ) = −2α(2α + n − 1)r 2(α−1)por lo que el Laplaciano de un polinomio homogéneo de grado 2α es un polinomiohomogéneo de grado 2α − 2.□Aplicación 2.Consideremos P un polinomio en R n+1 homogéneo, de grado k, que ademássea armónico, es decir que verifica ∆ Rn+1 P = 0. Entonces tenemos que0 = ∆ Sn (P | S n) − k(k − 1) P | S n − n k P | S nsi y sólo si∆ Sn (P | S n) = k(k + n − 1)P | S nPor lo que los polinomios homogéneos armónicos en la esfera son funcionespropias del Laplaciano ∆ Sn para cualquier k ≥ 1.Más interesante aún es el hecho de que estos polinomios constituyen todaslas autofunciones del Laplaciano, y forman por tanto una base ortonormal deL 2 (S n ). Probaremos esto a continuación.Notación 4.1Notaremos por P k al subespacio de los polinomios en R n+1 homogéneos degrado k. Si f ∈ C ∞ (R n+1 ), ˜f denotará su restricción a la esfera S n .El conjunto ⊕ k≥0 P k puede ser equipado con el producto interno dado por∫〈p, q〉 = ˜p ˜q dω g0S ndonde g 0 es la métrica heredada de R n+1 .56

4.2 El Laplaciano en la esfera S nNotación 4.2Notaremos por H k al subespacio de los polinomios en R n+1 homogéneos yarmónicos, de grado k. Si consideramos la restricción R: H k −→ C ∞ (S n ) conR(p) = p| S n, R es un mapa inyectivo: la homogeneidad asegura que si dospolinomios coinciden en la esfera S n entonces coinciden en cualquier esfera∂B(0, r), y por ende en todo R n+1 . Por lo tanto, R es un isomorfismo sobre suimagen, la cual notaremos ˜H k .Teorema 4.8El espectro del Laplaciano en la esfera (S n , g 0 ) es el conjuntoSpec(∆ g0 ) = {λ k = k(n + k − 1): k ∈ Z, k ≥ 0}Además, los subespacios propios E k asociados a cada valor propio λ k son exactamentelos conjuntos ˜H k .Lema 4.9Para todo k ≥ 0P 2k = H 2k ⊕ r 2 H 2k−2 ⊕ · · · ⊕ r 2k H 0P 2k+1 = H 2k+1 ⊕ r 2 H 2k−1 ⊕ · · · ⊕ r 2k H 1donde además los subespacios en cada descomposición son ortogonales dos ados.Demostración:Haremos esta prueba por inducción completa.Para k = 0 y k = 1 se verifica trivialmente ya que H 0 = P 0 , las funcionesconstantes, y H 1 = P 1 , las funcionales lineales. Supongamos que paraalgún k ≥ 2 vale la descomposición P k = H k ⊕ r 2 P k−2 y probemos que valeP k+2 = H k+2 ⊕ r 2 P k .Veamos que la suma H k+2 + r 2 P k ⊂ P k+2 es directa y que los factores sonortogonales:(1) ˜H k+2 y ˜P k en C ∞ (S n ) son ortogonales:Sabemos, por la aplicación 2 de la proposición 4.7 que ˜H k+2 ⊂ E k+2 . Tenemosentonces, utilizando la hipótesis inductiva, que57˜P k ⊂ ˜H k ⊕ ˜P k−2 ⊂ E k ⊕ ˜P k−2 = E k ⊕ ˜H k−2 ⊕ ˜P k−4⊂ E k ⊕ E k−2 ⊕ ˜P k−4 ⊂ · · ·

El Laplaciano en variedadespor lo que ˜P k está contenido en la suma de subespacios propios asociados avalores propios distintos de (k + 2)(n + k + 1). Como los subespacios propiosson ortogonales dos a dos, tenemos que ˜H k+2 y ˜P k son ortogonales.(2) Si p ∈ P k+2 es ortogonal a P k entonces p ∈ H k+2Dado p ∈ P k+2 , ∆p ∈ P k . Por el lema 4.9 sabemos que P k se escribe comosuma de r 2l H k−2l con 0 ≤ 2l ≤ k, por lo que ∆p = 0 si y sólo si es ortogonal aa todos los r 2l H k−2l . Equivalentemente, ∆p = 0 si y sólo si ∆p es ortogonal a˜H k−2l , ∀ 0 ≤ 2l ≤ k.Sean p ∈ P k+2 y h ∈ H k−2l . Sabemos que∆˜p h = ∆˜p ˜h + 2〈∇˜p, ∇˜h〉 + ˜p∆˜hIntegrando∫ ∫∫∫0 = ∆˜p h =S n ∆˜p ˜h + 2S n 〈∇˜p, ∇˜h〉 +S n ˜p ∆˜hS n (4.2)Como ˜h es un polinomio armónico de grado k − 2l sabemos que ∆˜h = (k −2l)(n + k − 2l − 1)˜h. Por tanto∫∫˜p ∆˜h = (k − 2l)(n + k − 2l − 1) ˜p ˜h = 0S n S nya que ˜p es ortogonal a ˜P k .Ahora, por la proposición 4.7 sabemos que∆˜p = ˜∆p + ˜∂ 2 p∂r 2 + n ˜∂p∂r = ˜∆p + (k + 2)(n + k + 1)˜pEntonces∫∫ ∫∆˜p ˜h = ˜∆p ˜h + (k + 2)(n + k + 1) ˜pS∫S ˜h =n n S nReemplazando en la ecuación 4.2∫S n ˜∆p ˜h = −2∫S n˜∆p ˜hS n 〈∇˜p, ∇˜h〉 = −2〈∇˜p, ∇˜h〉= −2〈˜p, ∆˜h〉 = −2(k − 2l)(n + k − 2l − 1)〈˜p, ˜h〉 = 0Finalmente, ∆p es ortogonal a P k y por lo tanto ∆p = 0.58

4.2 El Laplaciano en la esfera S n □Lema 4.10Sea (M, g) variedad Riemanniana y {W i } i∈N ⊂ C ∞ (M) subespacios vectorialestal que se verifica1. Para todo i ∈ N existe un subespacio propio S λi del Laplaciano ∆ g talque W i ⊂ S λi .2. ∑ i∈N W i es densa en C ∞ (M) con la norma L 2 .Entonces para todo i ∈ N, W i = S λi y el espectro de ∆ g es exactamente elconjunto {λ i } i∈N .Demostración:Primero observemos que los subespacios W i deben ser de dimensión finitapues los S λi lo son. Supongamos que existe i tal que W i S λi . Entonces existef ∈ S λi que es ortogonal a W i . A su vez, f debe ser ortogonal a W j para todoj ≠ i por la descomposición en subespacios ortogonales que nos da el TeoremaEspectral. Luego f es ortogonal a ∑ i∈N W i y por tanto a C ∞ (M) de dondef = 0, lo que es una contradicción.Con respecto a la afirmación sobre el espectro, es claro que {λ i } i∈N ⊂ Spec(∆ g ).Si existiese otro valor propio λ distinto de los {λ i } i∈N , entonces el subespaciopropio S λ es no trivial y es ortogonal a todos los W i . Luego es ortogonal a la∑i∈N W i y por densidad a todo C ∞ (M), resultando entonces trivial, lo que estambién una contradicción.□Demostración del Teorema:Por el teorema de Stone-Weierstrass, el conjunto ⊕˜k≥0 P k es denso en C ∞ (S n )con la topología uniforme y, como S n tiene medida finita, también es denso enL 2 (S n ). Por el lema 4.9 tenemos que cada ˜P k se escribe como suma de ciertos˜H l con l ≤ k. Además obtenemos que⊕k≥0H k = ⊕ k≥0y por tanto ⊕ k≥0 H k también es denso en C ∞ (S n ) con la norma L 2 . Luego, porel lema 4.10 H k = E k para todo k ≥ 0.59P k□

El Laplaciano en variedades4.3. El Laplaciano como fuente de informacióngeométrica.Toda un área de la matemática se ocupa de estudiar la relación existente entreel espectro del Laplaciano en una variedad y la geometría de ésta. Al estarintrínsecamente relacionado con la métrica, el espectro del Laplaciano “codifica”de alguna manera la información geométrica de la variedad. “Lamentablemente”,esta codificación no es lo suficientemente buena en el siguiente sentido:el espectro del Laplaciano no caracteriza, en general, la geometríade la variedad. Al final de la sección probaremos sin embargo un resultadoen el cual, bajo ciertas hipótesis, sí hay caracterización.Proposición 4.11 (Principio del mínimo para λ 1 .)El primer valor propio no nulo, λ 1 , de una variedad (M, g) viene dado porλ 1 =‖∇f‖ 2ínff∈H 1 (M) ‖f‖ 2Demostración:Por un lado, si f es una función propia asociada a λ 1 entonces tenemos que∫∫∫〈∇ g f, ∇ g f〉dω g = ∆ g f fdω g = λ 1 f 2 dω gy por lo tantoMλ 1 ≥M‖∇f‖ 2ínff∈H 1 (M) ‖f‖ 2Tomemos ahora f ∈ H 1 (R n ). f se escribe de manera única como f = ∑ i α iu isiendo {u i } las autofunciones del Laplaciano. Luego,∫Mpor lo que,|∇ g f| 2 dω g ==≥∫∫〈∇ g f, ∇ g f〉dω g = 〈∆ g f, f〉dω g∫MMM〈 ∑ α i λ i u i , ∑ ∫∑α j u j 〉dω g = αi 2 λ i |u i | 2ijM i∫∑λ 1 αi 2 = λ 1 ‖f‖ 2Miλ 1 ≤Mínff∈H 1 (M)‖∇f‖ 2‖f‖ 2 60

4.3 El Laplaciano como fuente de información geométrica.□Definición 4.1 (Campos de Jacobi)Sean f ∈ C ∞ (M) y γ : [0, a] −→ M una curva geodésica. Un campo a lo largode γ se dice de Jacobi si satisface la siguiente ecuación diferencialD 2 J(t) + R( ˙γ(t), J(t)) ˙γ(t)dt2 ∀ t ∈ [0, a] y donde R denota al tensor de curvatura.Observación 4.1Un campo de Jacobi queda determinado por las condiciones iniciales J(0) yDJdt (0).Campos de Jacobi en la esfera S nSea γ : [0, π] −→ S n una geodésica de velocidad 1 uniendo los puntos antípodasγ(0) y γ(π). Tomemos w 0 ∈ T γ(0) M tal que |w| = 1 y 〈w, ˙γ(0)〉 γ(0) = 0, yconsideremos w(t) el campo paralelo con w = w(0) a lo largo de la curva γ(t).Veamos que J(t) = sin t w(t) es un campo de Jacobi. Sabemos que la curvaturaK = 1 y que | ˙γ(0)| = 1. Tenemos entonces quelo que implica que〈R( ˙γ, J) ˙γ, J〉 = |J| 2R( ˙γ, J) ˙γ = JPor otra parte, utilizando que w(t) es un campo paralelo obtenemos que( )D Ddt dt sin tw(t)= D dt (cos t w(t)) + D dt(sin t D dt w(t) )= − sin w(t) + cos t D w(t) = − sen t w(t) = −Jdt61

El Laplaciano en variedadesProposición 4.12 (Caracterización de los Campos de Jacobi)Sea x ∈ M, v ∈ T x M y w ∈ T v T x M. Entonces1. El campo J(t) = (d exp x ) tv (tw) a lo largo de una geodésica γ(t) es uncampo de Jacobi2. Todo campo de Jacobi a lo largo de una geodésica γ es de la forma J(t) =(d exp x ) tv (tw)Definición 4.2 (Variaciones de curvas)Sea c: [0, 1] −→ M una curva parametrizada. Una Variación diferenciable dec en una función diferenciable K : [0, 1] × (−ε, ε) −→ M tal que K(t, 0) = c(t),∀ t ∈ [0, 1]. Para cada s ∈ (−ε, ε), la función K s : [0, 1] −→ M definida porK s (t) = K(t, s) es una curva parametrizada, y la llamaremos curva de variación.Diremos que una variación es geodésica si la curva inicial c es una geodésicay todas las curvas {K s } s∈(−ε,ε) también lo son.Teorema 4.13Sea γ : [0, 1] −→ M una geodésica y K : [0, 1] × (−ε, ε) −→ M una variacióngeodésica. Entonces J(t) = ∂K (t, 0) es un campo de Jacobi. Recíprocamente,∂stodo campo de Jacobi a lo largo de γ es de esa forma para alguna variación K.Fórmula de la primera Variación de la Longitud.Sea c: [0, 1] −→ M una curva parametrizada y X un campo de vectores alo largo de c. Sea K : [0, 1] × (−ε, ε) −→ M una variación diferenciable detal manera que todas las curvas c s (t) = K(t, s) tienen velocidad constante.Entoncesdds l(c s)∣ = 1 ∫ 1〈X, D dcs=0r dt dt 〉dtdonde r = |ċ(t)|.0Fórmula de la segunda Variación de la Longitud para campos deJacobi.Sea γ : [0, 1] −→ M una curva geodésica y J un campo de Jacobi a lo largo deγ. Entoncesd 2ds l(c s)2 ∣ = 1s=0| ˙γ(t)| [〈J(1), J ′ (1)〉 − 〈J(0), J ′ (0)〉]62

4.3 El Laplaciano como fuente de información geométrica.Definición 4.3Dada una función f ∈ H 2 (M) y x ∈ M, llamaremos matriz Hessiana de f enx a la matriz asociada a la forma cuadrática Hess x f en T x M definida porHess x f(v) = d2 (f ◦ γ)dt 2(t) ∣∣t=t0donde γ es una curva tal que γ(t 0 ) = x y ˙γ(t 0 ) = v ∈ T x M. Observamos quepara el caso de R n con la métrica Euclídea, la Hessiana de f es la matriz de∂las derivadas segundas, es decir, tal que la entrada a ij -ésima es2 f∂x i ∂x j.Notaremos indistintamente Hess f a la matriz y a la forma cuadrática.Proposición 4.14 (Fórmula de Bochner - Lichnerowicz)Para toda f ∈ C ∞ (M)− 1 2 ∆ g(|∇ g f| 2 ) = |Hess(f)| 2 − |∆ g f| 2 + ρ(∇ g f, ∇ g f)Donde ρ es el tensor de curvatura de Ricci. |Hess(f)| denota la norma de lamatriz Hessiana, i.e., |Hess(f)| 2 = ∑ ij a2 ij.Teorema 4.15 (Lichnerowicz)Si existe un número K > 0 tal que ρ ≥ K g entoncesλ 1 ≥nn − 1 KDonde λ 1 es el primer valor propio no nulo del Laplaciano ∆ gDemostración:Sea f una función propia del Laplaciano ∆ g de valor propio λ. De la fórmulade Bochner - Lichnerowicz obtenemos que− 1 2 ∆ g(|∇ g f| 2 ) = |Hess f| 2 − 〈∇ g f, ∇ g ∆ g f〉 + ρ(∇ g f, ∇ g f)= |Hess f| 2 − λ〈∇ g f, ∇ g f〉 + ρ(∇ g f, ∇ g f)Integrando∫0 = ‖Hess f‖ 2 − λ‖∇ g f‖ 2 +Mρ(∇ g f, ∇ g f)dω gpor lo que0 ≥ ‖Hess f‖ 2 − λ‖∇ g f‖ 2 + K‖∇ g f‖ 263

El Laplaciano en variedadesObservemos que si f es como antes‖∆ g f‖ 2 = 〈∆ g f, ∆ g f〉 = λ〈f, ∆ g 〉 = λ〈∇ g f, ∇ g f〉 = λ‖∇ g f‖ 2Por lo tanto obtuvimos que si λ ≠ 00 ≥ ‖Hess f‖ 2 − ‖∆ g f‖ 2 + K λ ‖∆ gf‖ 2Consideremos B una base ortonormal de T x M y sean H y I las matrices asociadasa la Hessiana de f y a la métrica en la base B, respectivamente. Utilizandola desigualdad de Cauchy-Schwartz(∆ g f) 2 = (tr H) 2 = (tr I t H) 2 = |〈H, I〉| 2 ≤ |H| 2 |I| 2= |Hess f| 2 tr I = |Hess f| 2 nLuego|Hess(f)| 2 ≥ 1 n (∆ gf) 2 ⇒ ‖Hess(f)‖ 2 ≥ 1 n ‖∆ gf‖ 2y concluimos queEn particular[ 10 ≥n − 1 + K λ]‖∆ g f‖ 2 ≥ − n − 1 + K n λ ⇔ λ ≥ K nn − 1λ 1 ≥ Knn − 1□Teorema 4.16 (Obata)Sea (M, g) una variedad Riemanniana y λ 1 el primer valor propio no nulo delLaplaciano ∆ g . Si K ∈ R verifica que ρ ≥ Kg yλ 1 = Knn − 1entonces (M, g) es isométrica a (S n , g 0 ).64

4.3 El Laplaciano como fuente de información geométrica.Demostración:Parte I: Existe un mapa diferenciable f : M −→ R tal queHess f = −f gSabemos de la prueba del teorema de Lichnerowicz que el hecho de que se dé eligual en la fórmula λ 1 = K n implica que las formas cuadráticas g y Hess(f)n−1son colineales. Luego, para cada x ∈ M existe α(x) tal queHess x f = α(x)g xLa función α: M −→ R así definida resulta diferenciable ya que en particulartenemos queα(x) = 1 ∂ 2 fg 11 (x) ∂x 2 1∀ x ∈ M, de donde Hess f = α g. Luego considerando las matrices asociadasa g y a Hess en una base ortonormal de T x M y tomando trazas obtenemos que−∆ g f = tr[Hess f] = n αSi tomamos f una función propia asociada a λ 1n α = −λ 1 f =nn − 1 K fConsideremos entonces una métrica g ′ = n−1 g. De esta manera tenemos queKρ g ′ = ρ g y además ∆ g ′ = K ∆ n−1 g, por lo que los dos operadores tienen las mismasautofunciones con λ valor propio de ∆ g si y sólo si λ n−1 es valor propioKde ∆ g ′. Luego el primer valor propio no nulo de ∆ g ′ es n y por tanton α = −λ 1 f = −n fde donde α = −f y obtenemos el resultado.Consecuencia: Si consideramos una geodésica γ parametrizada por longitudde arco entonces tenemos qued 2 (f ◦ γ)(t) = [Hessdt 2γ(t) f]( ˙γ(t)) = −(f ◦ γ)(t)〈 ˙γ(t), ˙γ(t)〉 γ(t) = −(f ◦ γ)(t)de donde (f ◦ γ)(t) = A cos t + B sin t65

El Laplaciano en variedadesParte II:Como M es compacta, f alcanza un máximo en el punto N, y podemos suponerque este máximo es 1. Tomemos γ : [0, a] −→ M una geodésica parametrizadapor longitud de arco partiendo de N.Sabemos que (f ◦ γ)(0) = 1 por lo que 1 = A cos 0 + B sin 0 de donde A = 1.Como f ◦ γ alcanza un máximo en t = 0 su derivada se anula en este instante.Por tanto 0 = − sin 0 + B cos 0 de donde B = 0. Concluimos entonces que(f ◦ γ)(t) = cos tAhora, si tomamos un punto x ∈ M, como M es compacta sabemos que existeuna geodésica γ que une x con N y que realiza la distancia. Tenemos entoncesquef(x) = cos d(x, N)Llamando r(x) = d(x, N), f = cos r y ∇f = − ˙γ(r) sin r ≠ 0. Esto implica queel mapa exponencial restricto a la bola B(0, π) ⊂ T x M es inyectivo.Fijemos un tiempo t y un vector w tal que w ⊥ v y |tw| = 1. Consideremosδ(s) la geodésica que en tiempo s = 0 pasa por γ(t) con velocidad 1.Consideremos el campo de Jacobi a lo largo de γ dado porCon 0 ≤ t ≤ 1.J(t) = d tv (exp)(tw)Consideramos una variación geodésica K : [0, 1] × (−ε, ε) −→ M con K(t, s) =c s (t) de manera que c s (0) = N para todo s ∈ (−ε, ε) y c s (t) = δ(s). Notemospor l(s) = (∣ ∣ dc sdt (0)∣ ∣ t)a la longitud de cs entre N y c s (t).Sabemos que, como δ es una geodésica, (f ◦ δ)(s) = A cos s + B sin s. Al igualque antes, A = (f ◦δ)(0) = (f ◦c 0 )(t) = cos t y B = d(f◦δ) (t) = 〈∇dt g f, ˙δ(0)〉 = 0ya que ˙δ(0) ⊥ v y ∇ g f es paralelo a v. Luego tenemos que(f ◦ δ)(s) = cos t cos sComo además (f ◦ δ)(s) = (f ◦ c s )(t) = cos[l(s)] obtenemoscos[l(s)] = cos t cos sAhora, derivaremos dos veces respecto a s a ambos lados. Del miembro izquierdoobtenemos que66

4.3 El Laplaciano como fuente de información geométrica.∣d 2 ∣∣∣s=0ds cos[l(s)] = d [sin[l(s)] dl ]∣∣∣∣s=02 ds ds (s)( ) ∣2dl∣∣∣∣s=0 ∣= − cos[l(s)]ds (s) − sin[l(s)] d2 l ∣∣∣s=0ds (s) 2= − sin t〈J(t), J ′ (t)〉donde utilizamos que dl (0) = 0 y d2 l(0) = 〈J(t), J ′ (t)〉. Por su parte, el miembroderechods ds 2resultade donded 2ds 2 [cos t cos s] ∣∣∣∣s=0= − cos 2 t cos s ∣ ∣s=0= − cos 2 t = −|J(t)| 2|J(t)| 2 cos t = sin t〈J(t), J ′ (t)〉por lo que si llamamos U(t) = |J(t)| 2 tenemos queU(t) cos t = sin t U ′ (t)2⇔U ′ (t)U(t) = 2cos tsin tIntegrandolog |U(t)| = 2 log[sin t] + c 0 ⇔ |U(t)| = c 1 sin 2 t⇔ |J(t)| = c sin tLuego|J(t)| = |J ′ (t)| sin tParte III: Existe una isometría h entre exp x [B(0, π)] ⊂ M y exp N [B(0, π)] ⊂S nNotaremos exp: T x M −→ M y exp: T x S n −→ S n a los mapas exponencialesde M y S n en N y x, respectivamente. De aquí en más identificaremos losplanos tangentes T N M y T x S n .Definamos h: exp[B(0, π)] −→ exp[B(0, π)] como h(y) = [exp ◦ exp −1 ](y)67

El Laplaciano en variedades∀ y ∈ exp[B(0, π)].Llamemos tv = exp −1 (x), con v = exp−1 (x)|exp −1 (x)| y t = |exp−1 (x)| por lo que |v| = 1.Ahora,d x h = d exp −1 (x)exp ◦ d x exp −1 = d exp −1 (x)exp ◦ ( d exp −1 (x)exp ) −1por lo que podemos escribird x h = d tv exp ◦ (d tv exp) −1Para ver que h es isometría, primero analicemos qué pasa en el subespaciogenerado por v. Observemos que exp(tv) = γ(t) es la geodésica parametrizadapor longitud de arco que en tiempo t = 0 pasa por x con velocidad v. Luego,|d tv exp(tv)| = | ˙γ(t)| = 1 = |v|por lo que d tv exp preserva la norma en este subespacio. Una cuenta análogamuestra que d tv exp también preserva la norma allí, y por tanto h también.Consideremos ahora w ∈ [v] ⊥ de manera que |tw| = 1. Tomemos u = d tv exp(tw)y por tanto, por la parte II|u| = |d tv exp(tw)| = |w| sin tComo conocemos cómo son los campos de Jacobi en la esfera también sabemosque|d x h(u)| = |d tv exp(tw)| = |w| sin tde donde|d x h(u)| = |u|si u = (d tv exp)(tw). Ahora, por el Lema de Gauss sabemos que〈d tv exp(tv), d tv exp(tw)〉 = 〈tv, tw〉por lo que〈d tv exp(tv), u〉 = 〈d tv exp(tv), d tv exp(tw)〉 = 〈tv, tw〉 = 068

4.3 El Laplaciano como fuente de información geométrica.De aquí que v ⊥ w si y sólo si u ⊥ ˙γ(t). Notar que aquí también estamos identificandolos planos tangentes T v T x S n y T x S n . Tenemos entonces la ecuación|d x h(u)| = |u|siempre que u ⊥ v.Probamos entonces que⋆ |d tv exp(tv)| = 1 = |d tv exp(tv)|⋆ |d tv exp(tw)| = |w| sin t = |d tv exp(tw)|⋆ 〈d tv exp(tv), d tv exp(tw)〉 = 0 = 〈d tv exp(tv), d tv exp(tw)〉De aquí concluimos|d tv exp(u)| = |d tv exp(u)|∀ u ∈ T x S n , por lo que si z de la forma z = (d tv exp) −1 (u)|z| = |d tv exp ◦ (d tv exp) −1 (z)| = |d x h(z)|Como exp es inyectivo, d tv exp es biyectivo y por tanto|d x h(z)| = |z|∀ z ∈ T x S n . Luego h es isometría local. Además, h es inyectiva pues los mapasexponenciales lo son en los entornos considerados.Parte IV: El mapa h: exp[B(0, π)] −→ exp[B(0, π)] se extiende a una isometríasobreyectiva h: S n −→ S n .Veamos que exp[B(0, π)] cubre todo M salvo un punto. Supongamos que existendos puntos S 0 y S 1 que no están en exp[B(0, π)]. Sean γ 0 y γ 1 las geodésicasparametrizadas por longitud de arco que unen N con S 0 y S 1 respectivamente.Consideremos la variación geodésica K : [0, π] × [0, 1] −→ M definida por69K(t, s) = exp(t cos s ˙γ 0 (0) + t sin s ˙γ 1 (0)) = exp(tv s )

El Laplaciano en variedadesnotando v s = cos s ˙γ 0 (0) + sin s ˙γ 1 (0).La variación determina una curva c(s) = K(π, s) donde el vector tangente enc(s) es el vector del campo de Jacobi J(π) asociado a la variación. Pero, por laparte II, sabemos que todo campo de Jacobi en M verifica |J(t)| = |J ′ (t)| sin t,por lo que J = 0. Luego la curva c consiste en un sólo punto por lo que S 0 = S 1 .Luego por continuidad extendemos h a una isometría inyectiva h: M −→ S n .Esta extensión debe ser además sobreyectiva ya que sabemos que exp[B(0, π)] =S n .□70

Bibliografía[1] R. A. Adams. Sobolev Spaces. Academic Press, London, 1975.[2] M. Berger, P. Gauduchon, and E. Mazet. Le Spectre d’une Variété Riemannienne,volume 194 of Lecture notes in Mathematics. Springer-Verlag,Berlin, 1971.[3] M. P. Do Carmo. Geometria Riemanniana. Projeto Euclides. Brasília,1979.[4] G. B. Folland. Real analysis. Pure and Applied Mathematics (New York).John Wiley & Sons Inc., New York, 1984.[5] R. Iório Jr. and V. De Magalhães Iório. Ecuações diferenciais parciais:uma introdução. Projeto Euclides. Brasília, 1988.[6] Kobayashi and Nomizu. Foundations of Differential Geometry, Vol. 1.[7] M. Reed and B. Simon. Fourier Analysis, Self-Adjointness, volume II ofMethods of modern mathematical phisics. Academic Press, London, 1975.[8] M. Reed and B. Simon. Functional Analysis, volume I of Methods of modernmathematical phisics. Academic Press, London, 1975.[9] J. Thayer. Operadores auto-adjuntos e equações diferenciais parciais. ProjetoEuclides. Brasília, 1987.71