El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

Herramientas del Análisis FuncionalEste teorema permite probar el siguiente, de donde se deduce el resultado quequeremos.Teorema 2.6Si f : R n −→ R es una función Borel medible de crecimiento polinomial entonces:1. dom f(D) ⊃ C ∞ 0 (R n ).2. f(D)| C ∞0 (R n ) es esencialmente autoadjunto.Observemos primero que Luego, f(D)| C ∞0 (R n ) es esencialmente autoadjunto ypor tanto su clausura f(D) es autoadjunta.Consideremos ahora la función f : R n −→ R conf(x 1 , ..., x n ) =n∑ix 2 i∀(x 1 , ..., x n ) ∈ R n , y el operador f(D), i.e.f(D)ψ =n∑∂ 2∂x 2 i=1 iψComo f es de crecimiento polinomial, el operador f(D) es esencialmente autoadjunto.El Laplaciano ∆ se define como la única extensión autoadjuntade f(D).2.4. Espacios de Sobolev2.4.1. Espacios de Sobolev en R nDado s ∈ R definimos el espacio de Sobolev H s (R n ) comoH s (R n ) = {f ∈ S ′ (R n ): (1 + |ξ| 2 ) s/2 ˆf ∈ L 2 (R n )}H s (R n ) es un espacio de Hilbert con producto interno∫〈f, g〉 = ˆf(ξ)g(ξ)(1 + |ξ| 2 ) s dξ28