El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

donde la última desigualdad se debe a que√ √γ1 20 ≤ (2 ‖u‖ 1 − K‖u‖ 0 ) 2 ≤ γ 1γ 1 2 ‖u‖2 1 − K‖u‖ 1 ‖u‖ 0 + 2 K 2 ‖u‖ 2 0γ 1Luego tenemos queRe〈(P + Q)u, u〉 ≥ γ 12 ‖u‖2 1 −y por tanto P + Q es coercitivo.[γ 0 + 2 γ 1K 2 ]‖u‖ 2 0□Lema 3.6El Laplaciano ∆ g : H 1 (R n ) −→ H −1 (R n ) es un operador coercitivo.Demostración:Veamos primero la continuidad. Tomemos u ∈ C0 ∞ (R n ). Luego∫∫‖∆ g u‖ −1 = sup ∆ g u · v dω g ≤ sup ∇ g u ∇ g v dω g‖v‖ 1 =1 R n ‖v‖ 1 =1 R n≤ ‖∇ g u‖ 0 ‖∇ g v‖ 0 ≤ ‖u‖ H 1‖v‖ H 1 ≤ γ 0 ‖u‖ 1 ‖v‖ 1 = γ 0 ‖u‖ 1Donde el número γ 0 proviene de que las normas en H 1 (R n ) son equivalentes ypor tanto ∃ γ 0 , γ 1 ∈ R + tal que √ γ 1 ‖u‖ 1 ≤ ‖u‖ H 1 ≤ √ γ 0 ‖u‖ 1 ∀u ∈ H 1 (R n ).Luego ‖∆ g u‖ −1 ≤ γ 0 ‖u‖ 1 y ∆ g : C0 ∞ (R n ) −→ H −1 (R n ) es continuo. ComoC0 ∞ (R n ) es denso en H 1 (R n ), hay una única extensión continua a todo H 1 (R n ).Vale la pena notar que existen funciones en H 1 (R n ) que no poseen derivadassegundas por lo que pensamos que el operador ∆ g actúa derivando débilmente.Vimos previamente que si u ∈ C0 ∞ (R n ) entonces∫〈∆ g u, u〉 = ∆ g u · u dω g = ‖|∇ g u|‖ 2 0R npor lo que〈∆ g u, u〉 = ‖|∇ g u|‖ 2 0 + ‖u‖ 2 0 − ‖u‖ 2 0 = ‖u‖ 2 H 1 − ‖u‖2 0 ≥ γ 1 ‖u‖ 2 1 − ‖u‖ 2 0Sea {u n } ⊂ C ∞ 0 (R n ) tal que ‖u n − u‖ 1 −→ 0. Tenemos por un lado queAdemás, ∃K ∈ R + tal que41γ 1 ‖u n ‖ 2 1 − ‖u n ‖ 2 0 −→ γ 1 ‖u‖ 2 1 − ‖u‖ 2 0〈∆ g u n , u n 〉 = ‖|∇ g u n |‖ 2 0 ≤ K‖|∇ g u|‖ 2 0