El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de MatemÃ¡tica

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Herramientas del Análisis Funcional□Corolario 2.15Para todo k ∈ N la inclusión i: H k R (Rn ) −→ H 0 R (Rn ) es compacta.Demostración:Este resultado es inmediato del hecho que i: H k (R n ) −→ H k−1 (R n ) es continuay por tanto i: HR k (Rn ) −→ H k−1R(Rn ) también lo es.□38
Capítulo 3Primeros Resultados en R nTeorema 3.1El Laplaciano ∆ g : H k (R n , ‖·‖ k ) −→ H k−2 (R n , ‖·‖ k−2 ) es un operador continuo∀ k ≥ 2, k ∈ Z.Demostración:Consideremos primero ∆ g : (C ∞ (R n ), ‖·‖ ∞ ) −→ (C ∞ (R n ), ‖·‖ ∞ ). Es claro queeste operador es continuo ya que si {f n } ⊂ C ∞ (R n ) es una sucesión convergentef n ⇒ f =⇒ ∆ g f n ⇒ ∆ g fLuego, como C ∞ (R n ) es denso en H k (R n , ‖ · ‖ k ), existe una única extensióncontinua ∆ g : H k (R n , ‖ · ‖ k ) −→ (C ∞ (R n ), ‖ · ‖ ∞ ). Además, sabemos que siu ∈ H k (R n ) entonces ∆ g u ∈ H k−2 (R n ), por lo que obtenemos el resultado.□Teorema 3.2El Laplaciano ∆ g : H 2 (R n , dω g ) −→ L 2 (R n , dω g ) es un operador simétrico.Demostración:Sean u, v ∈ C ∞ 0 (R n ). Si llamamos M a un abierto que contenga a los soportesde u y v, por 1.2 sabemos que vale〈∆ g u, v〉 = 〈u, ∆ g v〉Como C ∞ 0 (R n ) es denso en H 2 (R n ) y ∆ g : H 2 (R n ) −→ L 2 (R n ) es continuo,este último resulta simétrico.□Teorema 3.3El Laplaciano ∆ g : H 2 (R n , dω g ) −→ L 2 (R n , dω g ) es un operador “positivo”.39
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