El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de MatemÃ¡tica

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El Laplaciano en variedadesObtenemos también los corolariosCorolario 4.2Las funciones propias del Laplaciano ∆ g son de clase C ∞ .Corolario 4.3Todos los valores propios de ∆ g tienen multiplicidad finita.Corolario 4.4El espectro Sp(∆ g ) es discreto.Teorema 4.5Para todo s ∈ Z, s ≥ 1 el operador (∆ g + γI): H s+2 (M) −→ H s (M) escontinuo y biyectivo ∀γ ≥ σ(s).4.2. El Laplaciano en la esfera S nAdoptemos la siguiente notación:Si p ∈ M notaremos B(p, ε) la bola geodésica centro p y radio ε, i.e. B(p, ε) =exp p [B(0, ε)] y el mapa exponencial exp p : B(0, ε) ⊂ T p M −→ B(p, ε) ⊂ M esun difeomorfismo.Si f : B(p, ε) −→ R y q ∈ M entonces el valor de f(q) sólo depende de ladistancia de q a p, por tanto f se puede escribir comof(q) = (ϕ ◦ r)(q)Donde r(q) = d(p, q) y ϕ es una cierta función ϕ: [0, ε) −→ R.Proposición 4.6 (El Laplaciano en coordenadas Polares)∆f = − ∂2 ϕ∂r − ∂ϕ ( θ′2 ∂r θ + n − 1 )rDonde θ = √ det(g ij ) al igual que antes.54
4.2 El Laplaciano en la esfera S nProposición 4.7Consideramos la esfera (S n , g 0 ) dentro de (R n+1 , g 0 ), siendo g 0 la métricaEuclídea de R n+1 , y para el caso de la esfera la métrica heredada. Entonces, sif : R n+1 −→ R es una función de clase C ∞ se verifica que∣(∆ Rn+1 f)| S n = ∆ Sn (f| S n) − ∂2 f ∣∣∣S− n ∂f∂r 2 n ∂r ∣S nDemostración:Sea x 0 ∈ S n y consideremos x 1 , ..., x n tal que el conjunto {x o , x 1 , ..., x n } esuna base ortonormal de R n+1 . A su vez, el conjunto {x 1 , ..., x n } es una baseortonormal de T x0 M. Consideremos, ∀i ∈ {1, ..., n}, las geodésicas de la esferaque pasan por x 0 con velocidad x i , es decirγ i (t) = cos t · x 0 + sin t · x id 2 (f ◦ γ i )(t) = − cos t ∂f (γdt 2i (0)) − sin t ∂2 f∂x 0por lo queLuego∆ Sn (f| S n)(x 0 ) = −−∂x 2 0d 2 (f ◦ γ i )(0) = − ∂f (xdt 20 ) + ∂2 f∂x 0= −n∑i=0n∑i=0∂ 2 (f ◦ γ i )(0) = −dt 2(γ i (0))sin t ∂f (γ i (0)) + cos t ∂2 f(γ i (0))∂x in∑i=0∂ 2 f(x∂x 2 0 ) + n ∂f (x 0 )i ∂x 0∂x 2 i(x 0 )Sabemos que el Laplaciano usual en R n+1 viene dado por(∆ Rn+1 f)(x) = −n∑i=0∂ 2 f(x) = −∂x 2 in∑i=1∂x 2 i[ ∂ 2 f+ (x∂x 2 0 ) − ∂f ](x 0 )i ∂x 0∂ 2 f∂x 2 i(x) + ∂2 f(x)∂x 2 0por lo tanto la restricción viene dada por la misma fórmula y tenemos que55(∆ Rn+1 f)| S n(x 0 ) = −n∑i=1∂ 2 f∂x 2 i(x 0 ) + ∂2 f(x∂x 2 0 )0= ∆ Sn (f| S n)(x 0 ) − n ∂f (x 0 ) − ∂2 f(x 0 )∂x 0∂x 2 0
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