El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

lo que implica que R = 0, pues de lo contrario existiría v ∈ H −1 (R n ) ∩ Im T .Concluimos entonces que∆∆ g − ∆ g ∆ = T 3 − T ′ 3por lo que no se involucran derivadas cuartas.Para otro entero r > 1 puede probarse por inducción completa, utilizandola fórmula del binomio de Newton para desarrollar la expresión (∆ + I) r .Luego, escribiendo (∆ + I) r ∆ g = ∆ g (∆ + I) r + T tenemos queP (r)1 = (∆ + I) r ∆ g (∆ + I) −r = ∆ g + T (∆ + I) −rObservamos que T (∆ + I) −r : H 1 (R n ) −→ H 0 (R n ) es un operador continuopues (∆ + I) −r : H 1 (R n ) −→ H 2r+1 (R n ) y T : H 2r+1 (R n ) −→ H 0 (R n ) lo son.Como además por el lema 3.6 ∆ g es coercitivo, el lema 3.5 implica que P (r)1también es coercitivo y por tanto está en las hipótesis de la Parte I. Por ende,∀ γ ≥ σ(r), P (r)1 + γI : H 2r+1 (R n ) −→ H 2r−1 (R n ) es biyectivo. Ahora, comoP (r)1 + γI = (∆ + I) r [∆ g + γI](∆ + I) −rel operador ∆ g + γI : H 2r+1 (R n ) −→ H 2r−1 (R n ) también es biyectivo y continuo∀ γ ≥ σ(r).Utilizando el teorema de interpolación se deduce el resultado de esta etapa.Observemos de qué manera:Dado r ∈ Z sabemos que existen σ(r) y σ(r) ′ de manera quees biyectivo y continuo ∀ γ ≥ σ(r) y(∆ g + γI): H 2r+1 (R n ) −→ H 2r−1 (R n )(∆ g + γI): H 2r+3 (R n ) −→ H 2r+1 (R n )es biyectivo y continuo ∀ γ ≥ σ(r) ′ . Luego, si tomamos ˜σ(r) = máx{σ(r), σ(r) ′ }obtenemos que ambos son biyectivos y continuos ∀ γ ≥ ˜σ(r).Luego, por el teorema de interpolación concluimos que(∆ g + γI): H 2r (R n ) −→ H 2r−2 (R n )también es biyectivo y continuo ∀ γ ≥ ˜σ(r).45