El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

Por lo que Im(P + γI) es un subespacio cerrado de H −1 (R n ).Veamos ahora que es sobreyectivo. Supongamos que no lo es, entonces porHahn-Banach ∃ F ∈ H −1 (R n ) tal que F ≠ 0 y F | Im(P +γI) = 0. Como (H −1 (R n )) ∗ ≃H 1 (R n ) esto es equivalente a decir que ∃ u ∈ H 1 (R n ), u ≠ 0, tal que φ(u) = 0∀φ ∈ Im(P + γI). En otras palabrasEn particular〈(P + γI)v, u〉 = 0 ∀v ∈ H 1 (R n )0 = 〈(P + γI)u, u〉 ≥ ‖u‖ 1por lo que u = 0 contradiciendo lo afirmado.Parte II: Para todo r ∈ Z, r ≥ 0, el operador (∆ g +γI): H r+2 (R n ) −→ H r (R n )es continuo y biyectivo ∀ γ ≥ σ(r).Definamos para todo r ∈ Z el operador P (r)1 : H 1 (R n ) −→ H −1 (R n ) porP (r)1 u = (∆ + I) r ∆ g (∆ + I) −r u∀ u ∈ H 1 (R n ). Llamemos T al operador T = (∆ + I) r ∆ g − ∆ g (∆ + I) r . LuegoT es un operador diferencial de orden ≤ 2r + 1, es decir que no aparecen derivadasde orden 2r + 2. Observemos eso:Supongamos primero que r = 1. Entonces,T u = (∆ + I)∆ g u − ∆ g (∆ + I)u = ∆∆ g u + ∆ g u − ∆ g ∆u − ∆ g= ∆∆ g u − ∆ g ∆uy consideremos T = ∆∆ g − ∆ g ∆: H 3 (R n ) −→ H −1 (R n ).El operador T es continuo pues los mapas∆: H 1 (R n ) −→ H −1 (R n ) ∆: H 3 (R n ) −→ H 1 (R n )lo son.∆ g : H 1 (R n ) −→ H −1 (R n ) ∆ g : H 3 (R n ) −→ H 1 (R n )Para simplificar notación escribiremos∆ = ∑ k∂ 2 k∆ g = a ∑ ij∂ i a ij ∂ jCalculemos ∆∆ g = ∑ k ∂2 k ∆ g :[∂k∆ 2 g = ∂k2 a ∑ ij∂ i a ij ∂ j]43