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El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

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4.3 <strong>El</strong> <strong>Laplaciano</strong> como fu<strong>en</strong>te <strong>de</strong> información geométrica.Demostración:Parte I: Existe un mapa difer<strong>en</strong>ciable f : M −→ R tal queHess f = −f gSabemos <strong>de</strong> la prueba <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> Lichnerowicz que el hecho <strong>de</strong> que se dé eligual <strong>en</strong> la fórmula λ 1 = K n implica que las formas cuadráticas g y Hess(f)n−1son colineales. Luego, para cada x ∈ M existe α(x) tal queHess x f = α(x)g xLa función α: M −→ R así <strong>de</strong>finida resulta difer<strong>en</strong>ciable ya que <strong>en</strong> particulart<strong>en</strong>emos queα(x) = 1 ∂ 2 fg 11 (x) ∂x 2 1∀ x ∈ M, <strong>de</strong> don<strong>de</strong> Hess f = α g. Luego consi<strong>de</strong>rando las matrices asociadasa g y a Hess <strong>en</strong> una base ortonormal <strong>de</strong> T x M y tomando trazas obt<strong>en</strong>emos que−∆ g f = tr[Hess f] = n αSi tomamos f una función propia asociada a λ 1n α = −λ 1 f =nn − 1 K fConsi<strong>de</strong>remos <strong>en</strong>tonces una métrica g ′ = n−1 g. De esta manera t<strong>en</strong>emos queKρ g ′ = ρ g y a<strong>de</strong>más ∆ g ′ = K ∆ n−1 g, por lo que los dos operadores ti<strong>en</strong><strong>en</strong> las mismasautofunciones con λ valor propio <strong>de</strong> ∆ g si y sólo si λ n−1 es valor propioK<strong>de</strong> ∆ g ′. Luego el primer valor propio no nulo <strong>de</strong> ∆ g ′ es n y por tanton α = −λ 1 f = −n f<strong>de</strong> don<strong>de</strong> α = −f y obt<strong>en</strong>emos el resultado.Consecu<strong>en</strong>cia: Si consi<strong>de</strong>ramos una geodésica γ parametrizada por longitud<strong>de</strong> arco <strong>en</strong>tonces t<strong>en</strong>emos qued 2 (f ◦ γ)(t) = [Hessdt 2γ(t) f]( ˙γ(t)) = −(f ◦ γ)(t)〈 ˙γ(t), ˙γ(t)〉 γ(t) = −(f ◦ γ)(t)<strong>de</strong> don<strong>de</strong> (f ◦ γ)(t) = A cos t + B sin t65

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