El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

4.3 El Laplaciano como fuente de información geométrica.Demostración:Parte I: Existe un mapa diferenciable f : M −→ R tal queHess f = −f gSabemos de la prueba del teorema de Lichnerowicz que el hecho de que se dé eligual en la fórmula λ 1 = K n implica que las formas cuadráticas g y Hess(f)n−1son colineales. Luego, para cada x ∈ M existe α(x) tal queHess x f = α(x)g xLa función α: M −→ R así definida resulta diferenciable ya que en particulartenemos queα(x) = 1 ∂ 2 fg 11 (x) ∂x 2 1∀ x ∈ M, de donde Hess f = α g. Luego considerando las matrices asociadasa g y a Hess en una base ortonormal de T x M y tomando trazas obtenemos que−∆ g f = tr[Hess f] = n αSi tomamos f una función propia asociada a λ 1n α = −λ 1 f =nn − 1 K fConsideremos entonces una métrica g ′ = n−1 g. De esta manera tenemos queKρ g ′ = ρ g y además ∆ g ′ = K ∆ n−1 g, por lo que los dos operadores tienen las mismasautofunciones con λ valor propio de ∆ g si y sólo si λ n−1 es valor propioKde ∆ g ′. Luego el primer valor propio no nulo de ∆ g ′ es n y por tanton α = −λ 1 f = −n fde donde α = −f y obtenemos el resultado.Consecuencia: Si consideramos una geodésica γ parametrizada por longitudde arco entonces tenemos qued 2 (f ◦ γ)(t) = [Hessdt 2γ(t) f]( ˙γ(t)) = −(f ◦ γ)(t)〈 ˙γ(t), ˙γ(t)〉 γ(t) = −(f ◦ γ)(t)de donde (f ◦ γ)(t) = A cos t + B sin t65