El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

Primeros Resultados en R nLuego, por el teorema de convergencia dominada tenemos quelím 〈∆ g u n , u n 〉 = límn n∆ g u n ·u n =∫R n ∫lím ∆ g u n ·u n =R n n∫∆ g u·u = 〈∆ g u, u〉R nObservamos que utilizamos la convergencia en H 1 (R n ) para intercambiar ellímite con el operador ∆ g , ya que este último es continuo allí.Así obtuvimos que ∀ u ∈ H 1 (R n )〈∆ g u, u〉 ≥ γ 1 ‖u‖ 2 1 − ‖u‖ 2 0□Teorema 3.7 (Interpolación)Si T : H s 0(R n ) −→ H t 0(R n ) es un operador continuo tal que T [H s 1(R n )] ⊂H t 1(R n ) para s 1 > s 0 y t 1 > t 0 entonces si s θ = (1 − θ)s 0 + θs 1 y t θ =(1 − θ)t 0 + θt 1 para algún θ ∈ [0, 1] entonces T : H s θ (R n ) −→ H t θ (R n ) escontinuo.Corolario 3.8Si T : H s 0(R n ) −→ H t 0(R n ) y T : H s 1(R n ) −→ H t 1(R n ) son biyectivas entoncesH s θ (R n ) −→ H t θ (R n ) es un homeomorfismo ∀θ ∈ [0, 1].A continuación demostraremos uno de los teoremas más importantes de estasnotas.Teorema 3.9Sea g una métrica Riemanniana en R n tal que g coincide con la métricaEuclídea en B(0, 2) c . Entonces, el Laplaciano ∆ g : HR 2 (Rn ) −→ L 2 R (Rn ) esDiagonalizable en una base ortonormal de L 2 R (Rn ).Demostración:Parte I: Si P : H 1 (R n ) −→ H −1 (R n ) es un operador coercitivo entonces ∃ γ 0tal que el operador P + γI : H 1 (R n ) −→ H −1 (R n ) es biyectivo ∀γ ≥ γ 0 .Observemos queRe〈(P + γI)u, u〉 = Re〈P u, u〉 + γ‖u‖ 2 0 ≥ γ 1 ‖u‖ 2 1 − ‖u‖ 2 0 + γ‖u‖ 2 0 ≥ γ 1 ‖u‖ 2 1de donde P + γI es inyectivo. Además,‖(P +γI)u‖ −1 ≥ 1 |〈(P +γI)u, u〉| ≥ 1 [ ]γ1 ‖u‖ 2 1 − ‖u‖ 2 0 + γ‖u‖ 2 0 ≥ ‖u‖1‖u‖ 1 ‖u‖ 142