El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

Capítulo 2Herramientas del AnálisisFuncionalGran parte de nuestro trabajo se centrará en el estudio del Laplaciano comooperador, para lo cual necesitaremos introducir algunos conceptos de Análisisde Fourier y de Análisis Funcional para operadores no acotados.2.1. Distribuciones y derivadas débiles¿Qué es derivar débilmente y porqué queremos hacerlo?Nuestra primera motivación es que nuestro protagonista, el Laplaciano, es unoperador que actúa derivando. Muchas veces trabajamos con objetos que, obien no son diferenciables, o bien no controlamos que lo sean o no. La nociónde derivada débil será una asignación que verifique algunas propiedades básicasde la derivada convencional, y nos permita trabajar “sin preocuparnos” de laverdadera naturaleza de los objetos.Comencemos trabajando en C ∞ 0 (M), las funciones de M en R de clase C ∞ y soportecompacto. Consideremos la siguiente noción de convergencia en C ∞ 0 (M):Diremos que φ n −→ φ en el sentido de D(M) si1. ∃ K ⊂ M tal que ∀ n ∈ Z, sop(φ n − φ) ⊂ K2. D α φ n −→ D α φ uniformemente en K, ∀ α multiíndiceLlamemos C al conjunto de las funcionales lineales continuas respecto a estaconvergencia. Observamos que C no es vacía: la función evaluación i x es linealy como la convergencia en el sentido de D(M) implica la convergencia puntual,i x está en C. Consideramos entonces la topología débil respecto de la familiaC. Como C es un espacio vectorial, sus elementos son todas las funcionalescontinuas. Llamaremos D ′ (M) al dual de D(M) con la topología débil-∗, yDistribuciones a sus elementos.17