El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

2.4 Espacios de SobolevY por tanto la norma inducida es∫‖f‖ 2 s = (1 + |ξ| 2 ) s | ˆf(ξ)| 2 dξR nObservación 2.4Por la proposición 2.2 es inmediato que H 0 (R n ) = L 2 (R n ).Proposición 2.71. Si s, s ′ ∈ R con s ′ > s entonces H s′ (R n ) ⊂ H s (R n ). Además, la inclusióni: H s′ (R n ) −→ H s (R n ) es continua.2. FH s = L 2 (R n , (1 + |ξ| 2 ) s dξ)3. (H s (R n )) ∗ es isométricamente isomorfo a H −s (R n ).Demostración:La afirmación 2 es evidente. Demostraremos 1 y 3 :(1) Si s > s ′ entonces (1 + |ξ| 2 ) s′ /2 ≤ (1 + |ξ| 2 ) s/2 , por lo que si f ∈ H s (R n )∫‖f‖ 2 s∫R ≤ (1 + |ξ| 2 ) ′ s′ /2 | ˆf(ξ)| 2 dξ ≤ (1 + |ξ| 2 ) s/2 | ˆf(ξ)| 2 dξ = ‖f‖ 2 s < ∞n R ny por tanto f ∈ H s′ (R n ). Además, la inclusión i: H s (R n ) −→ H s′ (R n ) resultacontinua pues‖i(f)‖ s ′ = ‖f‖ s ′ ≤ ‖f‖ s(3) Dadas f ∈ H s (R n ) y g ∈ H −s (R n ), tenemos que∫| ˆf(ξ)ĝ(ξ)|dξR n =∫| ˆf(ξ)|(1 + |ξ| 2 ) s/2 |ĝ(ξ)|(1 + |ξ| 2 ) −s/2 dξR n≤‖f‖ s ‖g‖ −s < ∞donde utilizamos la desigualdad de Cauchy-Schwartz.Si definimos ψ g : H s (R n ) −→ C como29∫ψ g (f) =R nˆ f(ξ)ĝ(ξ)dξ