El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

El Laplaciano en variedadespor lo que ˜P k está contenido en la suma de subespacios propios asociados avalores propios distintos de (k + 2)(n + k + 1). Como los subespacios propiosson ortogonales dos a dos, tenemos que ˜H k+2 y ˜P k son ortogonales.(2) Si p ∈ P k+2 es ortogonal a P k entonces p ∈ H k+2Dado p ∈ P k+2 , ∆p ∈ P k . Por el lema 4.9 sabemos que P k se escribe comosuma de r 2l H k−2l con 0 ≤ 2l ≤ k, por lo que ∆p = 0 si y sólo si es ortogonal aa todos los r 2l H k−2l . Equivalentemente, ∆p = 0 si y sólo si ∆p es ortogonal a˜H k−2l , ∀ 0 ≤ 2l ≤ k.Sean p ∈ P k+2 y h ∈ H k−2l . Sabemos que∆˜p h = ∆˜p ˜h + 2〈∇˜p, ∇˜h〉 + ˜p∆˜hIntegrando∫ ∫∫∫0 = ∆˜p h =S n ∆˜p ˜h + 2S n 〈∇˜p, ∇˜h〉 +S n ˜p ∆˜hS n (4.2)Como ˜h es un polinomio armónico de grado k − 2l sabemos que ∆˜h = (k −2l)(n + k − 2l − 1)˜h. Por tanto∫∫˜p ∆˜h = (k − 2l)(n + k − 2l − 1) ˜p ˜h = 0S n S nya que ˜p es ortogonal a ˜P k .Ahora, por la proposición 4.7 sabemos que∆˜p = ˜∆p + ˜∂ 2 p∂r 2 + n ˜∂p∂r = ˜∆p + (k + 2)(n + k + 1)˜pEntonces∫∫ ∫∆˜p ˜h = ˜∆p ˜h + (k + 2)(n + k + 1) ˜pS∫S ˜h =n n S nReemplazando en la ecuación 4.2∫S n ˜∆p ˜h = −2∫S n˜∆p ˜hS n 〈∇˜p, ∇˜h〉 = −2〈∇˜p, ∇˜h〉= −2〈˜p, ∆˜h〉 = −2(k − 2l)(n + k − 2l − 1)〈˜p, ˜h〉 = 0Finalmente, ∆p es ortogonal a P k y por lo tanto ∆p = 0.58