El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

2.2. Transformada de FourierHerramientas del Análisis FuncionalLa transformada de Fourier resultará un elemento crucial en nuestro trabajo.Las buenas propiedades y la regularidad de este operador nos ofrecerán técnicasque facilitarán enormemente el desarrollo de nuestra teoría.2.2.1. Transformada de Fourier en R nDefinición 2.2La Transformada de Fourier es el operador F : L 1 (R n ) −→ L ∞ (R n ) definidocomo Ff = ˆf con∫1ˆf(ξ) =f(x) e −i〈ξ,x〉 dx (2.2)(2π) n/2 R n∀ ξ ∈ R nLa ecuación 2.2 tiene sentido pues∫| ˆf(ξ)| 1≤|f(x)|dx =(2π) n/2 R n∀ ξ ∈ R n1(2π) n/2 ‖f‖ L 1La linealidad de F es inmediata y también se tiene que‖ ˆf‖ L ∞ ≤por lo que F es un operador continuo.1(2π) n/2 ‖f‖ L 1También es posible definir la llamada Transformada de Fourier Inversa de lasiguiente manera∫1ˇf(ξ) =f(x) e i〈ξ,x〉 dx (2.3)(2π) n/2 R nUna cuenta análoga a la que realizamos para F muestra que la transformadainversa es también un operador continuo.Introduciremos ahora los Espacios de Schwartz ya que son un “buen” contextopara trabajar con la transformada F.Definición 2.3 (Espacio de Schwartz)S(R n ) = {u ∈ C ∞ (R n ): supx∈R n |x α ∂ β u(x)| < ∞ ∀ α, β multiíndices }20