El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

Herramientas del Análisis FuncionalCorolario 2.3La transformada de Fourier F : L 2 (R n ) −→ L 2 (R n ) es un operador unitario.Demostración:De la proposición anterior es inmediato que F : S(R n ) −→ S(R n ) es un operadorunitario. Como S(R n ) es denso en L 2 (R n ) obtenemos el resultado.□Corolario 2.4Si f ∈ S(R n ) tenemos que ∆f = (|ξ| 2 ˆf)ˇDemostración:Por la proposición anterior sabemos quê∆f(ξ) = (|ξ| 2 ˆf)(ξ)Tomando la transformada inversa a ambos lados obtenemos el resultado.Una operación en S que resultará muy útil es la convolución□Definición 2.4Si f, g ∈ S(R n ) se define la convolución de f y g por∫(f ∗ g)(x) = f(x − y)g(y)dyR n (2.7)La expresión 2.7 tiene sentido pues si definimos h(x, y) = f(x−y)g(y) entoncesh ∈ L 1 (R n × R n ) y por el teorema de Fubini la función x f(x − y)g(y)también está en L 1 (R n ).2.2.2. Transformada de Fourier para distribuciones.Sea S ′ (R n ) el dual de S(R n ) con la topología débil-∗. A los elementos de S ′ (R n )los llamaremos Distribuciones Temperadas.Observemos lo siguiente: podemos pensar a S(R n ) “dentro” de S ′ (R n ), ya24