El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

Capítulo 3Primeros Resultados en R nTeorema 3.1El Laplaciano ∆ g : H k (R n , ‖·‖ k ) −→ H k−2 (R n , ‖·‖ k−2 ) es un operador continuo∀ k ≥ 2, k ∈ Z.Demostración:Consideremos primero ∆ g : (C ∞ (R n ), ‖·‖ ∞ ) −→ (C ∞ (R n ), ‖·‖ ∞ ). Es claro queeste operador es continuo ya que si {f n } ⊂ C ∞ (R n ) es una sucesión convergentef n ⇒ f =⇒ ∆ g f n ⇒ ∆ g fLuego, como C ∞ (R n ) es denso en H k (R n , ‖ · ‖ k ), existe una única extensióncontinua ∆ g : H k (R n , ‖ · ‖ k ) −→ (C ∞ (R n ), ‖ · ‖ ∞ ). Además, sabemos que siu ∈ H k (R n ) entonces ∆ g u ∈ H k−2 (R n ), por lo que obtenemos el resultado.□Teorema 3.2El Laplaciano ∆ g : H 2 (R n , dω g ) −→ L 2 (R n , dω g ) es un operador simétrico.Demostración:Sean u, v ∈ C ∞ 0 (R n ). Si llamamos M a un abierto que contenga a los soportesde u y v, por 1.2 sabemos que vale〈∆ g u, v〉 = 〈u, ∆ g v〉Como C ∞ 0 (R n ) es denso en H 2 (R n ) y ∆ g : H 2 (R n ) −→ L 2 (R n ) es continuo,este último resulta simétrico.□Teorema 3.3El Laplaciano ∆ g : H 2 (R n , dω g ) −→ L 2 (R n , dω g ) es un operador “positivo”.39