El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

PanorámicaPor lo que la divergencia del campo resultadiv ω X = 1 θn∑i=1∂(θX i )∂ x iObservación 1.4Para toda u ∈ C ∞ (M) y todo campo XDemostración:div(u X) = u · divX + 〈∇ g u, X〉div(uX)ω = d(i uX ω) = du ∧ ω + u · d(i X ω) = du(X)ω + u divXω□Definición 1.4 (Laplaciano)Si u ∈ C ∞ (M), definimos el Laplaciano de u por∆ g u = −div ω (∇ g u)Cálculo explícito del Laplaciano en coordenadas locales.n∑∆ g u = −div(∇ g u) = 1 θi=1(= − 1 n∑ ∂θg ∑ ijθ ∂ xi=1 ij∂(θ (∇ g u) i )∂ x i∂u∂ x j)= − 1 θn∑i, j=1( )∂ ij ∂uθg∂ x i ∂ x jConsideramos el caso en que M = R n con la métrica Euclídea, es decir queg ij = δ ij . El Laplaciano de una función u ∈ C ∞ (M) resulta∆ g u = −n∑i=1∂ 2 u∂x 2 iEsta conocida fórmula es la opuesta a la del Laplaciano usual en R n . El signode menos fue puesto pon una cuestión de practicidad, pero es claro que noaltera el comportamiento del Laplaciano como operador.12