El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de MatemÃ¡tica

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PanorámicaCorolario 1.3El laplaciano ∆ g : C ∞ (M) −→ L 2 (M) es un operador “positivo”:∫〈∆ g u, u〉 =∀u ∈ C ∞ (M).M∫∆ g u · u dω g =M〈∇ g u, ∇ g u〉dω g = ‖|∇ g u|‖ 2 ≥ 0□Invariancia por Isometrías del Laplaciano.Definición 1.5Sean (M, g) y (N, h) son dos variedades Riemannianas. Diremos que un difeomorfismoϕ: M −→ N es una isometría si ∀ x ∈ M se verifica〈v, w〉 x = 〈d x ϕ(v), d x ϕ(w)〉 ϕ(x)∀ v, w ∈ T x M.Una propiedad fundamental del Laplaciano es la invariancia por isometrías,que puede describirse de la siguiente manera:Proposición 1.4Sean f : N −→ R una función diferenciable y ϕ: M −→ N una isometría.Entonces∆ M (f ◦ ϕ) = ∆ N f ◦ ϕDemostración:Dado x ∈ M, tomemos {X 1 , ..., X n } una base ortonormal de T x M. Sean {γ i }las geodésicas que en tiempo t = 0 pasan por x con velocidad X i . Como d x ϕpreserva el producto interno {d x ϕ(X 1 ), ..., d x ϕ(X n )} es una base ortonormalde T ϕ(x) N. Si llamamos δ i = ϕ(γ i ) entonces {δ i } son curvas que en tiempot = 0 pasan por ϕ(x) con velocidad d x ϕ(X i ).14
Tenemos entonces que∆ M (f ◦ ϕ)(x) = −= −n∑i=1n∑i=1d 2dt 2 ((f ◦ φ) ◦ γ i)(0)d 2dt 2 (f ◦ (δ i))(0) = [(∆ N f) ◦ ϕ](x)para todo x ∈ M, por lo que obtenemos el resultado.□15
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Bibliografía[1] R. A. Adams. Sobol
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