El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

Herramientas del Análisis FuncionalDefinición 2.1Diremos que una función u, definida a menos de conjuntos de medida nula enM, es localmente integrable si para todo conjunto compacto A ⊂ M se cumpleque u ∈ L 1 (A).L 1 loc (M) denotará al conjunto de las funciones localmente integrables en M.Trabajemos entonces en este espacio. Dada u ∈ L 1 loc (M), hagamos una asignaciónanáloga a la que haríamos vía Riesz, si u estuviera en L 2 (M), para obtenerun funcional lineal. Explícitamente, le asociaremos la función T u definida por∫T u (φ) = u(x)φ(x)dx ∀φ ∈ DMObservamos que esta expresión tiene sentido pues uφ ∈ L 1 (M). La linealidadde la integral asegura que T u será lineal.Para ver la continuidad, tomemos {φ n } ⊂ C0 ∞ (M) convergiendo a φ ∈ C0 ∞ (M)en el sentido de D. Sabemos entonces que existe un compacto K tal quesop(φ n − φ) ⊂ K, y por lo tanto∫|T u φ n − T u φ| ≤ sup |φ n (x) − φ(x)| |u(x)|dx −→ 0x∈KEs importante remarcar que el mapa u T u no es en general sobreyectivo,es decir, existen distribuciones que no son de la forma T u para ningún u ∈L 1 loc (M). Por ejemplo, consideremos la distribuciónδ x0 (φ) = φ(x 0 )K∀, φ ∈ D y un x 0 ∈ M.Si δ x0 (φ) fuera de la forma T u para alguna u ∈ L 1 loc (M) entonces ∀ φ ∈ C∞ 0 (M)∫δ x0 (φ) = T u (φ) = u(x)φ(x)dω g (x)Sea φ ∈ C0 ∞ (M) tal que φ(x) = 0 ⇔ x = x 0 . Luego,∫u(x)φ(x)dω g (x) = φ(x 0 ) = 0Mpor lo que u(x)φ(x) = 0 y por tanto u(x) = 0 en casi todo punto, lo queimplica que T u ≡ 0. Ahora, sea ψ ∈ C ∞ 0 (M) tal que ψ(x 0 ) ≠ 0. LuegoM0 ≠ δ x0 (ψ) = T u (ψ) = 018