El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

2.4 Espacios de Sobolev2.4.4. Equivalencias y conclusiones.A continuación mostraremos que, a nuestros efectos, los distintos espacios deSobolev son esencialmente los mismos.Teorema 2.12(I) Las normas ‖ · ‖ L 2 (R n ) y ‖ · ‖ L 2 (R n , dω g) en L 2 (R n ) son equivalentes.(II) Las siguientes normas en H 2 (R n ) son equivalentes1. ‖u‖ H 2 (R n ) = ∫ R n (1 + |ξ| 2 ) 2 |û(ξ)| 2 dξ2. ‖u‖ 2 =3. ‖u‖ 2, g =() 1/2‖u‖ 2 L 2 (R n ) + ‖∇u‖2 L 2 (R n )() 1/2‖u‖ 2 L 2 (R n ,dω + ‖∇ g) gu‖ 2 L 2 (R n , dω g)Demostración:(I) Consideremos la identidad id: (R n , 〈·, ·〉 g ) −→ (R n , 〈·, ·〉) preservando orientación,y siendo 〈·, ·〉 el producto interno usual en R n . Sea {v 1 , ..., v n } unabase ortonormal de R n respecto de 〈·, ·〉 g y {e 1 , ..., e n } la base canónica deR n . Por la observación 1.1 sabemos que si P = B [id] C entonces G = P t Py det P = √ det G. Como G es una matriz simétrica real definida positiva,|det G| < ∞, |det G −1 | < ∞, ‖G‖ < ∞ y ‖G −1 ‖ < ∞, por lo que existen c 1 ,c 2 , C 1 y C 2 ∈ R + tal queAhora,‖u‖ 2 L 2 (R n , dω g) =1c 1≤ |det P | ≤ C 1=Una cuenta análoga muestra quey1c 2≤ ‖P ‖ ≤ C 2∫∫|u(x)| 2 dω g (x) = id ∗ (|u(x)| 2 dω g (x))∫R n R n ∫|u(x)| 2 |det P |dx ≤ C |u(x)| 2 dx = C 1 ‖u‖ 2 L 2 (R n )R n R n‖u‖ 2 L 2 (R n ) ≤ c 1‖u‖ 2 L 2 (R n , dω g)(II) Las normas 1 y 2 son de hecho las mismas ya que∫∫‖u‖ 2 H 2 (R n )∫R = (1 + |ξ| 2 ) 2 |û(ξ)| 2 dξ = |û(ξ)| 2 dξ + |ξ| 2 |û(ξ)| 2 dξn R n R n33