El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

El Laplaciano en variedades4.3. El Laplaciano como fuente de informacióngeométrica.Toda un área de la matemática se ocupa de estudiar la relación existente entreel espectro del Laplaciano en una variedad y la geometría de ésta. Al estarintrínsecamente relacionado con la métrica, el espectro del Laplaciano “codifica”de alguna manera la información geométrica de la variedad. “Lamentablemente”,esta codificación no es lo suficientemente buena en el siguiente sentido:el espectro del Laplaciano no caracteriza, en general, la geometríade la variedad. Al final de la sección probaremos sin embargo un resultadoen el cual, bajo ciertas hipótesis, sí hay caracterización.Proposición 4.11 (Principio del mínimo para λ 1 .)El primer valor propio no nulo, λ 1 , de una variedad (M, g) viene dado porλ 1 =‖∇f‖ 2ínff∈H 1 (M) ‖f‖ 2Demostración:Por un lado, si f es una función propia asociada a λ 1 entonces tenemos que∫∫∫〈∇ g f, ∇ g f〉dω g = ∆ g f fdω g = λ 1 f 2 dω gy por lo tantoMλ 1 ≥M‖∇f‖ 2ínff∈H 1 (M) ‖f‖ 2Tomemos ahora f ∈ H 1 (R n ). f se escribe de manera única como f = ∑ i α iu isiendo {u i } las autofunciones del Laplaciano. Luego,∫Mpor lo que,|∇ g f| 2 dω g ==≥∫∫〈∇ g f, ∇ g f〉dω g = 〈∆ g f, f〉dω g∫MMM〈 ∑ α i λ i u i , ∑ ∫∑α j u j 〉dω g = αi 2 λ i |u i | 2ijM i∫∑λ 1 αi 2 = λ 1 ‖f‖ 2Miλ 1 ≤Mínff∈H 1 (M)‖∇f‖ 2‖f‖ 2 60