El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

El Laplaciano en variedadesProposición 4.12 (Caracterización de los Campos de Jacobi)Sea x ∈ M, v ∈ T x M y w ∈ T v T x M. Entonces1. El campo J(t) = (d exp x ) tv (tw) a lo largo de una geodésica γ(t) es uncampo de Jacobi2. Todo campo de Jacobi a lo largo de una geodésica γ es de la forma J(t) =(d exp x ) tv (tw)Definición 4.2 (Variaciones de curvas)Sea c: [0, 1] −→ M una curva parametrizada. Una Variación diferenciable dec en una función diferenciable K : [0, 1] × (−ε, ε) −→ M tal que K(t, 0) = c(t),∀ t ∈ [0, 1]. Para cada s ∈ (−ε, ε), la función K s : [0, 1] −→ M definida porK s (t) = K(t, s) es una curva parametrizada, y la llamaremos curva de variación.Diremos que una variación es geodésica si la curva inicial c es una geodésicay todas las curvas {K s } s∈(−ε,ε) también lo son.Teorema 4.13Sea γ : [0, 1] −→ M una geodésica y K : [0, 1] × (−ε, ε) −→ M una variacióngeodésica. Entonces J(t) = ∂K (t, 0) es un campo de Jacobi. Recíprocamente,∂stodo campo de Jacobi a lo largo de γ es de esa forma para alguna variación K.Fórmula de la primera Variación de la Longitud.Sea c: [0, 1] −→ M una curva parametrizada y X un campo de vectores alo largo de c. Sea K : [0, 1] × (−ε, ε) −→ M una variación diferenciable detal manera que todas las curvas c s (t) = K(t, s) tienen velocidad constante.Entoncesdds l(c s)∣ = 1 ∫ 1〈X, D dcs=0r dt dt 〉dtdonde r = |ċ(t)|.0Fórmula de la segunda Variación de la Longitud para campos deJacobi.Sea γ : [0, 1] −→ M una curva geodésica y J un campo de Jacobi a lo largo deγ. Entoncesd 2ds l(c s)2 ∣ = 1s=0| ˙γ(t)| [〈J(1), J ′ (1)〉 − 〈J(0), J ′ (0)〉]62