El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

Corolario 3.10Las funciones propias del Laplaciano ∆ g son de clase C ∞ .Demostración:Vimos que u es una función propia de ∆ g si y sólo si es función propia de(∆ g + γI) −1 . La imagen de (∆ g + γI) −1 es de hecho HR 2 (Rn ) y por tantou ∈ HR 2 (Rn ). Ahora consideramos (∆ g + γI) −1 : HR 2 (Rn ) −→ HR 2 (Rn ). Lafunción u será también propia para este operador, que de hecho tiene imagenHR 4 (Rn ) y por tanto u ∈ HR 4 (Rn ). Siguiendo esta razonamiento inductivamente,vemos que u ∈ HR 2k(Rn) para todo k lo que implica que u tiene derivadas detodos los órdenes.□Corolario 3.11Todos los valores propios de ∆ g son reales no negativos y tienen multiplicidadfinita.Demostración:Ya sabemos por 3.3 que los valores propios de ∆ g son reales no negativos. Como(∆ g + γI) −1 es compacto y autoadjunto, todos sus valores propios no nulostienen multiplicidad finita y por tanto los de ∆ g también. Sabemos ademásque el valor propio 0 de ∆ g tiene multiplicidad 1 ya que si ∆ g u = 0 tenemosque u ∈ C ∞ R (Rn )) y por tanto0 = 〈∆ g u, u〉 = 〈∇ g u, ∇ g u〉 = ‖|∇ g u|‖ 2de donde u es constante, i.e.: el subespacio propio asociado a 0 es el conjuntode las funciones constantes en C ∞ R (Rn ).□Corolario 3.12El espectro Spec(∆ g ) es un conjunto discreto tendiendo a infinito.Demostración:Sabemos que los valores propios de (∆ g + γI) −1 son un conjunto infinito,discreto, acotado y acumulando en el 0. Por ende, como los valores propios de∆ g vienen dados por 1 − γ, con λ valor propio de (∆ λ g + γI) −1 , el espectro de∆ g es un conjunto infinito, discreto y no acotado superiormente.□47