El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

2.4 Espacios de SobolevDefinición 2.14Dado R ∈ R, R > 0, los Espacios de Sobolev H s R (Rn ) son los conjuntosH s R(R n ) = {u ∈ H s (R n ): sop (u) ⊂ B(0, R)}Como H s R (Rn ) es un subespacio cerrado de H s (R n ) es también un espacio deHilbert con la norma heredada.2.4.2. Espacios de Sobolev: construcción generalConsideremos la función ‖ · ‖ k : L 2 (M) −→ R ∪ {+∞} definida por√ ( ∑ )‖u‖ k = ‖D α u‖ 20≤|α|≤kEn el conjunto {u ∈ C k (M) : ‖u‖ k < +∞} ⊂ L 2 (M) la función ‖ · ‖ k es unanorma, y llamaremos H k (M) a su completación respecto a esta norma.Con esta construcción no es evidente qué tipo de objetos conforman H k (M).Veremos más adelante que H k (M) es de hecho un subconjunto de L 2 (M).Consideremos, para k ∈ N, los conjuntosW k (M) = {u ∈ L 2 (M): D α u ∈ L 2 (M), ∀α tal que 0 ≤ |α| ≤ k}Donde D α u es la derivada débil. Observamos que como L 2 (M) ⊂ L 1 loc (M),existe la derivada débil para toda u ∈ L 2 (M). Equipemos entonces W k (M)con la norma ‖ · ‖ k . Notaremos W k 0 (M) a la clausura de C ∞ 0 (M) en W k (M)Teorema 2.10W k (M) es un espacio de Banach.Demostración:Tomemos {u n } una sucesión de Cauchy en W k (M). {D α u n } es una sucesiónde Cauchy en L 2 (M) ∀ 0 ≤ |α| ≤ k y como L 2 es completo existen vectoresu α ∈ L 2 (M) tal que D α u n −→ u α . Como L 2 (M) ⊂ L 1 loc (M) consideremos lasdistribuciones T D α u ny T uα . Luego si φ ∈ D tenemos que∫|T D α u nφ − T uα φ| ≤ |D α u n (x) − u α (x)||φ(x)|dx ≤ ||φ|| L 2||D α u n − u α || L 2Mpor la desigualdad de Cauchy-Schwartz, por lo que T D α u nφ −→ T uα φ ∀φ ∈ D.Luego31