El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

2.3 Análisis Funcional de operadores no acotadosque dada una función f ∈ S(R n ) y α multiíndice, podemos asociarle una distribuciónT f, α mediante∫T f, α (φ) = 〈D α f, φ〉 = D α f(x)φ(x)dxR n∀ φ ∈ S.El hecho de que T f, α resulta efectivamente una distribución se prueba de maneraanáloga a las pruebas realizadas en la sección Derivadas Débiles.Derivaremos distribuciones temperadas en el sentido introducido en dicha sección.2.3. Análisis Funcional de operadores no acotadosIntroduciremos algunos conceptos básicos de esta teoría. En esta sección, Hdenotará un espacio de Hilbert y 〈·, ·〉 su producto interno.Definiciones básicas.Definición 2.5Un operador T en H es un mapa lineal de un subconjunto de H que llamaremosdominio de T en H. Notaremos dom(T ) al dominio de T y asumiremos quedom(T ) es denso en H.Definición 2.6Si T : dom(T ) −→ H es un operador, el gráfico de T es el conjuntoG(T ) = {(x, T x) ∈ H × H : x ∈ H}Definición 2.7Un operador T se dice cerrado si su gráfico es un subconjunto cerrado deH × H.Definición 2.8Sean T 0 y T 1 dos operadores en H. Diremos que T 1 es una extensión de T 0si dom(T 1 ) ⊃ dom(T 0 ) y T 0 x = T 1 x ∀x ∈ dom(T 0 ). En este caso escribiremosT 1 ⊃ T 0 .25