El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

4.1 LocalizaciónObservemos lo siguiente:∫〈u i , ((∆ g + γI)v) i 〉 = u i (x)((∆ g + γI)v) i (x)dx∫R n= û i (h i (x))((∆ g + γI)ˆv(h i (x))) i dω g (x)∫M= û i (h i (x))((∆ i + γI)ˆv) i (h i (x))dω g (x) (4.1)∫M= û i (x)((∆ i + γI)ˆv) i (x)dxR n= 〈û i , ((∆ i + γI)ˆv) i 〉donde utilizamos la fórmula de cambio de variable y el hecho de que las h i sonisometrías, implicando esto último que |detJh i (x)| = 1 ∀x ∈ M.Una cuenta análoga muestra que〈((∆ g + γI)u) i , v i 〉 = 〈((∆ i + γI)û) i , ˆv i 〉De la prueba de 3.9 sabemos que (∆ i + γI) −1 es autoadjunto, por lo que〈(∆ g + γI) −1 u i 0, v i 0〉 = 〈u i , (∆ g + γI)v i 〉= 〈((∆ g + γI)u) i , v i 〉 = 〈u i 0, (∆ g + γI) −1 v i 0〉y por ende〈(∆ g + γI) −1 u 0 , v 0 〉 = 〈u 0 , (∆ g + γI) −1 v 0 〉Tenemos entonces que (∆ g + γI) −1 | D es autoadjunto, lo que implica que (∆ g +γI) −1 : H 0 (M) −→ H 0 (M) también lo es.De esta manera concluimos que ∆ g es diagonalizable en una base ortonormalde H 0 (M). En otras palabras, existe una base ortonormal deL 2 (M) formada por funciones propias de ∆ g .53□