El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

4.2 El Laplaciano en la esfera S nNotación 4.2Notaremos por H k al subespacio de los polinomios en R n+1 homogéneos yarmónicos, de grado k. Si consideramos la restricción R: H k −→ C ∞ (S n ) conR(p) = p| S n, R es un mapa inyectivo: la homogeneidad asegura que si dospolinomios coinciden en la esfera S n entonces coinciden en cualquier esfera∂B(0, r), y por ende en todo R n+1 . Por lo tanto, R es un isomorfismo sobre suimagen, la cual notaremos ˜H k .Teorema 4.8El espectro del Laplaciano en la esfera (S n , g 0 ) es el conjuntoSpec(∆ g0 ) = {λ k = k(n + k − 1): k ∈ Z, k ≥ 0}Además, los subespacios propios E k asociados a cada valor propio λ k son exactamentelos conjuntos ˜H k .Lema 4.9Para todo k ≥ 0P 2k = H 2k ⊕ r 2 H 2k−2 ⊕ · · · ⊕ r 2k H 0P 2k+1 = H 2k+1 ⊕ r 2 H 2k−1 ⊕ · · · ⊕ r 2k H 1donde además los subespacios en cada descomposición son ortogonales dos ados.Demostración:Haremos esta prueba por inducción completa.Para k = 0 y k = 1 se verifica trivialmente ya que H 0 = P 0 , las funcionesconstantes, y H 1 = P 1 , las funcionales lineales. Supongamos que paraalgún k ≥ 2 vale la descomposición P k = H k ⊕ r 2 P k−2 y probemos que valeP k+2 = H k+2 ⊕ r 2 P k .Veamos que la suma H k+2 + r 2 P k ⊂ P k+2 es directa y que los factores sonortogonales:(1) ˜H k+2 y ˜P k en C ∞ (S n ) son ortogonales:Sabemos, por la aplicación 2 de la proposición 4.7 que ˜H k+2 ⊂ E k+2 . Tenemosentonces, utilizando la hipótesis inductiva, que57˜P k ⊂ ˜H k ⊕ ˜P k−2 ⊂ E k ⊕ ˜P k−2 = E k ⊕ ˜H k−2 ⊕ ˜P k−4⊂ E k ⊕ E k−2 ⊕ ˜P k−4 ⊂ · · ·