El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

4.3 El Laplaciano como fuente de información geométrica.∣d 2 ∣∣∣s=0ds cos[l(s)] = d [sin[l(s)] dl ]∣∣∣∣s=02 ds ds (s)( ) ∣2dl∣∣∣∣s=0 ∣= − cos[l(s)]ds (s) − sin[l(s)] d2 l ∣∣∣s=0ds (s) 2= − sin t〈J(t), J ′ (t)〉donde utilizamos que dl (0) = 0 y d2 l(0) = 〈J(t), J ′ (t)〉. Por su parte, el miembroderechods ds 2resultade donded 2ds 2 [cos t cos s] ∣∣∣∣s=0= − cos 2 t cos s ∣ ∣s=0= − cos 2 t = −|J(t)| 2|J(t)| 2 cos t = sin t〈J(t), J ′ (t)〉por lo que si llamamos U(t) = |J(t)| 2 tenemos queU(t) cos t = sin t U ′ (t)2⇔U ′ (t)U(t) = 2cos tsin tIntegrandolog |U(t)| = 2 log[sin t] + c 0 ⇔ |U(t)| = c 1 sin 2 t⇔ |J(t)| = c sin tLuego|J(t)| = |J ′ (t)| sin tParte III: Existe una isometría h entre exp x [B(0, π)] ⊂ M y exp N [B(0, π)] ⊂S nNotaremos exp: T x M −→ M y exp: T x S n −→ S n a los mapas exponencialesde M y S n en N y x, respectivamente. De aquí en más identificaremos losplanos tangentes T N M y T x S n .Definamos h: exp[B(0, π)] −→ exp[B(0, π)] como h(y) = [exp ◦ exp −1 ](y)67