El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

El Laplaciano en variedadesDemostración:Utilizaremos varias ideas del teorema 3.9 junto con la técnica clásica de localizaciónpara utilizar los resultados obtenidos en el caso M = R n .Parte I: Existe γ ∈ R tal que ∆ g + γI : H 2 (M) −→ H 0 (M) es biyectivo∀γ ≥ γ.Definamos ∆ i en (R n , g i ) con g i una métrica Riemanniana tal que coincidecon la métrica Euclídea en B(0, 2) c y en B(0, 1) la definimos de la siguientemanera: Dado z ∈ B(0, 1) y v, w ∈ R n〈v, w〉 z = 〈(d z h −1i)v, (d z h −1 )w〉 h−1Observación: Definidas las métricas de esta manera, los mapas d x h i : T x M −→R n resultan isometrías ∀ x ∈ U i .Sabemos por el teorema 3.9 que ∆ i + γI : H 2 (R n ) −→ H 0 (R n ) es biyectivo∀ γ ≥ γ i . Llamemos γ = máx{γ 1 , ..., γ n }. Luego, para todo i ∈ {1, ..., n}es biyectivo ∀ γ ≥ γ.∆ i + γI : H 2 (R n ) −→ H 0 (R n )Tomemos γ ≥ γ y v ∈ H 0 (M) y definamosv i := p i vii(z)para todo i ∈ {1, ..., n}, y luego{ (pi v ◦ h −1i )(z) z ∈ B(0, 1)ˆv i (z) =0 z ∈ B(0, 1) cDe esta manera, v i ∈ H 0 (R n ) ∀ i ∈ {1, ..., n}. Luego sabemos que para cada iexiste û i ∈ H 2 (R n ) tal que(∆ i + γI)û i = ˆv iPara cada i existe V i ⊂ M abierto tal que U i ⊂ V i . Consideremos ˜h i : V i −→B(0, 2) una extensión de h de manera que ˜h i ∈ H 2 (M) y sea biyectiva. Definimosentonces u i : M −→ R como:{(ûi ◦u i (x) =˜h i )(x) x ∈ V i0 x ∈ (V i ) cde donde u i ∈ H 2 (V i ).50