El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

El Laplaciano en variedadesAplicación 1.Notemos por r : R n+1 −→ R la función distancia al origen y consideremos paraα ∈ R la función r 2α . Observamos que esta función es de clase C 2 y que surestricción a la esfera S n es la función constante 1. Por esto, su Laplaciano enla esfera es cero y por la proposición anterior tenemos que∣(∆ Rn+1 r 2α )| S n = − ∂2 r 2α ∣∣∣S∂r 2 nObservamos además que− n ∂r2α∂r∣ = −2α(2α − 1) − n 2αS n∆ Rn+1 (r 2α ) = −2α(2α + n − 1)r 2(α−1)por lo que el Laplaciano de un polinomio homogéneo de grado 2α es un polinomiohomogéneo de grado 2α − 2.□Aplicación 2.Consideremos P un polinomio en R n+1 homogéneo, de grado k, que ademássea armónico, es decir que verifica ∆ Rn+1 P = 0. Entonces tenemos que0 = ∆ Sn (P | S n) − k(k − 1) P | S n − n k P | S nsi y sólo si∆ Sn (P | S n) = k(k + n − 1)P | S nPor lo que los polinomios homogéneos armónicos en la esfera son funcionespropias del Laplaciano ∆ Sn para cualquier k ≥ 1.Más interesante aún es el hecho de que estos polinomios constituyen todaslas autofunciones del Laplaciano, y forman por tanto una base ortonormal deL 2 (S n ). Probaremos esto a continuación.Notación 4.1Notaremos por P k al subespacio de los polinomios en R n+1 homogéneos degrado k. Si f ∈ C ∞ (R n+1 ), ˜f denotará su restricción a la esfera S n .El conjunto ⊕ k≥0 P k puede ser equipado con el producto interno dado por∫〈p, q〉 = ˜p ˜q dω g0S ndonde g 0 es la métrica heredada de R n+1 .56