El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

2.2 Transformada de FourierLuego∫∫|f(x)| 2 dx = |f(x)| 2 dx = ∑ |〈( 1R n C ε2 ε)n/2 e i〈k,x〉 , f(x)〉| 2k∈K ε= ∑ ∣ ∣∣∣∣ ∫∑( 1 2ˆf(j)k∈KC ε2 ε)n/2 e i〈k,x〉(2π) n/2 ei〈j,x〉 dx∣ε j∈K ε= ∑ ∣ ∣∣∣∣ ∫( 1 2ˆf(k)k∈KC ε2 ε)n/2(2π) n/2 (πε)n dx∣ε= ∑ ( 2 ε )2n ( 1 2| ˆf(k)|ε)n2 (2π) n (πε)2nk∈K ε= ∑ ∫| ˆf(k)| 2 (πε) n −−→ | ˆf(x)| 2 dxε→0k∈KR n ε(2)∫R n ˆφψ dx =∫==Análogamente, se prueba que∫∫[∫]φ(x)e −i〈x,ξ〉 dξ ψ(x)dx(2π) n/2 R[∫n ]ψ(ξ)e −i〈ξ,x〉 dx φ(ξ)dξ (2.6)(2π) n/2 R nR n 1R n 1R n φ ˆψ dξ∫R n ˇφψ dx =∫R n φ ˇψ dxUtilizando la fórmula 2.6, si tomamos φ y ˆψ entonces∫R n ˆφ ˆψ dx =∫R n φ ˆˆψ dξ =∫R n φψdξ(3) Observemos primero que Fφ = F −1 φ. Luego∫ ∫∫φ 2 dx = FφF −1 φdx = φFF −1 φdxR n R n R n∫ ∫∫φ 2 dx = F −1 φFφdx = φF −1 FφdxR n R n R nPor lo que φ = FF −1 φ = F −1 Fφ en casi todo punto, y como es continua, entodo punto.23