El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

4.2 El Laplaciano en la esfera S n □Lema 4.10Sea (M, g) variedad Riemanniana y {W i } i∈N ⊂ C ∞ (M) subespacios vectorialestal que se verifica1. Para todo i ∈ N existe un subespacio propio S λi del Laplaciano ∆ g talque W i ⊂ S λi .2. ∑ i∈N W i es densa en C ∞ (M) con la norma L 2 .Entonces para todo i ∈ N, W i = S λi y el espectro de ∆ g es exactamente elconjunto {λ i } i∈N .Demostración:Primero observemos que los subespacios W i deben ser de dimensión finitapues los S λi lo son. Supongamos que existe i tal que W i S λi . Entonces existef ∈ S λi que es ortogonal a W i . A su vez, f debe ser ortogonal a W j para todoj ≠ i por la descomposición en subespacios ortogonales que nos da el TeoremaEspectral. Luego f es ortogonal a ∑ i∈N W i y por tanto a C ∞ (M) de dondef = 0, lo que es una contradicción.Con respecto a la afirmación sobre el espectro, es claro que {λ i } i∈N ⊂ Spec(∆ g ).Si existiese otro valor propio λ distinto de los {λ i } i∈N , entonces el subespaciopropio S λ es no trivial y es ortogonal a todos los W i . Luego es ortogonal a la∑i∈N W i y por densidad a todo C ∞ (M), resultando entonces trivial, lo que estambién una contradicción.□Demostración del Teorema:Por el teorema de Stone-Weierstrass, el conjunto ⊕˜k≥0 P k es denso en C ∞ (S n )con la topología uniforme y, como S n tiene medida finita, también es denso enL 2 (S n ). Por el lema 4.9 tenemos que cada ˜P k se escribe como suma de ciertos˜H l con l ≤ k. Además obtenemos que⊕k≥0H k = ⊕ k≥0y por tanto ⊕ k≥0 H k también es denso en C ∞ (S n ) con la norma L 2 . Luego, porel lema 4.10 H k = E k para todo k ≥ 0.59P k□