El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

Capítulo 1PanorámicaEn este trabajo (M, g) denotará una variedad Riemanniana M de dimensiónn, compacta, conexa, sin borde, orientable y g será una métrica Riemanniana.Asumimos que una orientación ha sido asignada.En este capítulo introduciremos las primeras definiciones y propiedades quenos acompañarán a lo largo de todo el trabajo.Notación 1.1Sea x ∈ M, U ⊂ M abierto con x ∈ U y ϕ: R n −→ U una parametrización.Notaremos X i = d x ϕ(e i ) siendo {e 1 , ..., e n } la base canónica de R n . Tambiénes usual notar∂∂x ia los d x ϕ(e i ), pero nosotros adoptaremos la notación introducidapreviamente. La matriz de la métrica G será G = G(x) = (g ij ) ij cong ij = 〈X i , X j 〉 x .Definición 1.1 (Forma de volumen canónica)Dados x ∈ M y B = {v 1 , ..., v n } base ortonormal directa de T x M, existeuna única ω g x : T x M × ... × T x M −→ R n-forma multilineal alternada tal queω x (v 1 , ..., v n ) = 1. Explícitamente,ω g x = dv 1 ∧ ... ∧ dv ndonde {dv 1 , ..., dv n } es la base dual de {v 1 , ..., v n }.Observamos que si C = {w 1 , ..., w n } es otra base de T x M entoncesdw 1 ∧ ... ∧ dw n = det P · dv 1 ∧ ... ∧ dv ncon P = B [id] C la matriz de cambio de base. Esto implica que si C también es directay ortonormal entonces det P = 1 y por tanto dw 1 ∧...∧dw n = dv 1 ∧...∧dv n ,por lo que ω g x está bien definida.Diremos que ω g = {ω g x} x∈M es la forma de volumen canónica de la variedad(M, g).9