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El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

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2.4 Espacios <strong>de</strong> SobolevLema 2.14Si u ∈ H 1 (R n ) <strong>en</strong>tonces existe C > 0 tal queDemostración:∫R n |u(x + h) − u(x)| 2 dx ≤ C 2 |h| 2 ‖u‖ 2 1==≤∫∫|u(x + h) − u(x)| 2 dx = |û(x + h) − û(x)| 2 dx∫R n ∫R n|e i〈x,h〉 û(x) − û(x)| 2 dx = |e i〈x,h〉 − 1| 2 |û(x)| 2 dxR n R∫ ∣ n∣∣∣ e i〈x,h〉 2∫ ∣ − 1∣∣∣ R 〈x, h〉 ∣ |〈x, h〉| 2 |û(x)| 2 dx ≤ |h| 2 e i〈x,h〉 − 1n R 〈x, h〉 ∣∫∫nC|h| 2 ‖x‖ 2 |û(x)| 2 dx = C|h| 2 | ̂∇u(x)| 2 dxR n R n2‖x‖ 2 |û(x)| 2 dx= C|h| 2 ∫R n |∇u(x)| 2 dx ≤ C|h| 2 ‖u‖ 2 1□Demostración <strong>de</strong>l teorema:Sea B = {u ∈ H 1 R (Rn ): ‖u‖ 1 ≤ 1} la bola unidad <strong>en</strong> H 1 R (Rn ). Queremos probarque i(B) ⊂ H 0 R (Rn ) es precompacta, para lo cual utilizaremos el sigui<strong>en</strong>tecriterio:Un conjunto K <strong>en</strong> un espacio métrico es precompacto si y sólo si admite unaε-red para todo ε > 0.Consi<strong>de</strong>remos la familia {J η ∗ u: u ∈ H 1 R (Rn ), η > 0}, don<strong>de</strong> J η : R n −→ Rson funciones positivas <strong>de</strong> clase C ∞ que se anulan fuera <strong>de</strong> la bola B(0, η) y∫R n J η (x)dx = 1.Parte I:Para cada η > 0 fijo, la familia K η(C(B(0, R)), ‖ · ‖ ∞ )= {J η ∗ u: u ∈ B} es precompacta <strong>en</strong>Para <strong>de</strong>mostrar esto utilizaremos el teorema <strong>de</strong> Ascoli-Arzela; vamos a verificarque estamos <strong>en</strong> hipótesis.Veamos la continuidad. Tomemos ε > 0 y u ∈ H 1 R (Rn ).35

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