El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

2.4 Espacios de SobolevLema 2.14Si u ∈ H 1 (R n ) entonces existe C > 0 tal queDemostración:∫R n |u(x + h) − u(x)| 2 dx ≤ C 2 |h| 2 ‖u‖ 2 1==≤∫∫|u(x + h) − u(x)| 2 dx = |û(x + h) − û(x)| 2 dx∫R n ∫R n|e i〈x,h〉 û(x) − û(x)| 2 dx = |e i〈x,h〉 − 1| 2 |û(x)| 2 dxR n R∫ ∣ n∣∣∣ e i〈x,h〉 2∫ ∣ − 1∣∣∣ R 〈x, h〉 ∣ |〈x, h〉| 2 |û(x)| 2 dx ≤ |h| 2 e i〈x,h〉 − 1n R 〈x, h〉 ∣∫∫nC|h| 2 ‖x‖ 2 |û(x)| 2 dx = C|h| 2 | ̂∇u(x)| 2 dxR n R n2‖x‖ 2 |û(x)| 2 dx= C|h| 2 ∫R n |∇u(x)| 2 dx ≤ C|h| 2 ‖u‖ 2 1□Demostración del teorema:Sea B = {u ∈ H 1 R (Rn ): ‖u‖ 1 ≤ 1} la bola unidad en H 1 R (Rn ). Queremos probarque i(B) ⊂ H 0 R (Rn ) es precompacta, para lo cual utilizaremos el siguientecriterio:Un conjunto K en un espacio métrico es precompacto si y sólo si admite unaε-red para todo ε > 0.Consideremos la familia {J η ∗ u: u ∈ H 1 R (Rn ), η > 0}, donde J η : R n −→ Rson funciones positivas de clase C ∞ que se anulan fuera de la bola B(0, η) y∫R n J η (x)dx = 1.Parte I:Para cada η > 0 fijo, la familia K η(C(B(0, R)), ‖ · ‖ ∞ )= {J η ∗ u: u ∈ B} es precompacta enPara demostrar esto utilizaremos el teorema de Ascoli-Arzela; vamos a verificarque estamos en hipótesis.Veamos la continuidad. Tomemos ε > 0 y u ∈ H 1 R (Rn ).35