El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

4.3 El Laplaciano como fuente de información geométrica.Definición 4.3Dada una función f ∈ H 2 (M) y x ∈ M, llamaremos matriz Hessiana de f enx a la matriz asociada a la forma cuadrática Hess x f en T x M definida porHess x f(v) = d2 (f ◦ γ)dt 2(t) ∣∣t=t0donde γ es una curva tal que γ(t 0 ) = x y ˙γ(t 0 ) = v ∈ T x M. Observamos quepara el caso de R n con la métrica Euclídea, la Hessiana de f es la matriz de∂las derivadas segundas, es decir, tal que la entrada a ij -ésima es2 f∂x i ∂x j.Notaremos indistintamente Hess f a la matriz y a la forma cuadrática.Proposición 4.14 (Fórmula de Bochner - Lichnerowicz)Para toda f ∈ C ∞ (M)− 1 2 ∆ g(|∇ g f| 2 ) = |Hess(f)| 2 − |∆ g f| 2 + ρ(∇ g f, ∇ g f)Donde ρ es el tensor de curvatura de Ricci. |Hess(f)| denota la norma de lamatriz Hessiana, i.e., |Hess(f)| 2 = ∑ ij a2 ij.Teorema 4.15 (Lichnerowicz)Si existe un número K > 0 tal que ρ ≥ K g entoncesλ 1 ≥nn − 1 KDonde λ 1 es el primer valor propio no nulo del Laplaciano ∆ gDemostración:Sea f una función propia del Laplaciano ∆ g de valor propio λ. De la fórmulade Bochner - Lichnerowicz obtenemos que− 1 2 ∆ g(|∇ g f| 2 ) = |Hess f| 2 − 〈∇ g f, ∇ g ∆ g f〉 + ρ(∇ g f, ∇ g f)= |Hess f| 2 − λ〈∇ g f, ∇ g f〉 + ρ(∇ g f, ∇ g f)Integrando∫0 = ‖Hess f‖ 2 − λ‖∇ g f‖ 2 +Mρ(∇ g f, ∇ g f)dω gpor lo que0 ≥ ‖Hess f‖ 2 − λ‖∇ g f‖ 2 + K‖∇ g f‖ 263