El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

Capítulo 4El Laplaciano en variedades4.1. LocalizaciónEn el capítulo 1 hicimos un estudio profundo del Laplaciano en el caso M = R nequipada con una métrica Riemanniana g. Queremos obtener ahora resultadossimilares definiendo el Laplaciano sobre una variedad Riemanniana M conmétrica g. Fundamentalmente, probar la existencia de una base ortonormalde L 2 (M) formada por funciones propias del Laplaciano ∆ g . Paraesto, es crucial la hipótesis de que la variedad M sea compacta. De lo contrario,el resultado es en general falso. Por cuestiones técnicas, pediremos además queM orientable, y sin borde. Pedimos además la hipótesis de conexión, que nogenera restricciones de ningún tipo, reduciéndose el caso no conexo a estudiarcada componente conexa.Comencemos considerando {(U 1 , h 1 ), ..., (U n , h n )} un atlas finito de M conh i : U i −→ B(0, 1) ⊂ R n ∀ i ∈ {1, ..., n}. Trabajaremos en esta sección coneste atlas.Consideremos p 1 , ..., p n una partición de la unidad C ∞ subordinada al cubrimiento{U 1 , ..., U n }, es decir1. p i : U i −→ R es una función de clase C ∞ con soporte compacto ∀ i ∈{1, ...n}2. p i ≥ 0 ∀ i ∈ {1, ...n}3. ∑ i p i(x) = 1 ∀ x ∈ MTeorema 4.1Dada (M, g) variedad Riemanniana compacta, conexa, sin borde y orientada,El Laplaciano ∆ g es diagonalizable en una base ortonormal de L 2 (M).49