El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

Observamos también que si en una variedad (M, g) consideramos {X 1 , ..., X n }una base ortonormal de T x M respecto de la métrica g, obtenemos tambiéng ij = δ ij por lo que arribamos a la misma fórmula.A continuación veremos las primeras propiedades del Laplaciano, que se desprendendirectamente de la definición.Proposición 1.1Para todas u,v ∈ C ∞ (M) se tiene que∫∫u ∆ g v dω g =Demostración:Sabemos queMM〈∇ g u, ∇ g v〉dω gdiv(u ∇ g v) = u · div(∇ g v) + 〈∇ g u, ∇ g v〉 = −u · ∆ g v + 〈∇ g u, ∇ g v〉Integrando∫M∫∫div(u ∇ g v)dω g = − u ∆ g v dω g + 〈∇ g u, ∇ g v〉dω gMMReescribiendo el término de la izquierda y utilizando el teorema de Stokestenemos que∫∫∫div(u ∇v)dω g = d i u ∇v ω = i u ∇v ω = 0Mya que ∂M es vacío.M∂M□Corolario 1.2El Laplaciano ∆ g : C ∞ (M) −→ L 2 (M) es un operador simétrico.Demostración:Dadas u, v ∈ C ∞ (M) tenemos que∫∫∫〈∆ g u, v〉 = ∆u · v dω g = 〈∇ g u, ∇ g v〉dω g =13MMMu · ∆ g v dω g = 〈u, ∆ g v〉□