El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

El Laplaciano en variedadesObservemos que si f es como antes‖∆ g f‖ 2 = 〈∆ g f, ∆ g f〉 = λ〈f, ∆ g 〉 = λ〈∇ g f, ∇ g f〉 = λ‖∇ g f‖ 2Por lo tanto obtuvimos que si λ ≠ 00 ≥ ‖Hess f‖ 2 − ‖∆ g f‖ 2 + K λ ‖∆ gf‖ 2Consideremos B una base ortonormal de T x M y sean H y I las matrices asociadasa la Hessiana de f y a la métrica en la base B, respectivamente. Utilizandola desigualdad de Cauchy-Schwartz(∆ g f) 2 = (tr H) 2 = (tr I t H) 2 = |〈H, I〉| 2 ≤ |H| 2 |I| 2= |Hess f| 2 tr I = |Hess f| 2 nLuego|Hess(f)| 2 ≥ 1 n (∆ gf) 2 ⇒ ‖Hess(f)‖ 2 ≥ 1 n ‖∆ gf‖ 2y concluimos queEn particular[ 10 ≥n − 1 + K λ]‖∆ g f‖ 2 ≥ − n − 1 + K n λ ⇔ λ ≥ K nn − 1λ 1 ≥ Knn − 1□Teorema 4.16 (Obata)Sea (M, g) una variedad Riemanniana y λ 1 el primer valor propio no nulo delLaplaciano ∆ g . Si K ∈ R verifica que ρ ≥ Kg yλ 1 = Knn − 1entonces (M, g) es isométrica a (S n , g 0 ).64