El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

4.1 LocalizaciónSabemos que u i | U ci= 0 pues û i es 0 en la bola B(0, 1) dado que ˆv i lo es.Entonces, si consideramos la restricción u i | Ui , tenemos que u i | Ui ∈ H 2 (U i )valiendo 0 en V i \U i . Como además u i es cero en (V i ) c , obtenemos que u i ∈H 2 (M), y su fórmula explícita viene dada poru i (x) ={ (ûi ◦ h i )(x) x ∈ U i0 x ∈ (U i ) cTenemos entonces que para cada i, en U i valeγû i + ∆ i û i = ˆv i⇔ γû i ◦ h i + ∆ i û i ◦ h i = ˆv i ◦ h i⇔ γu i + ∆ i û i ◦ h i = v iComo h i es una isometría tenemos que∆ g u i = ∆ g (û i ◦ h i ) = ∆ i û i ◦ h iy por tanto en U i(γ + ∆ g )u i = v iSi definimos u: M −→ R como u := ∑ ni=1 u i, entonces u ∈ H 2 (M) y verifican∑(γ + ∆ g )u = γu + ∆ g u = γ u i + ∆ g=i=1n∑γu i + ∆ g u i =i=1i=1n∑v i =n∑i=1u in∑p i v = vi=1Por lo que el operador ∆ g + γI : H 2 (M) −→ H 0 (M) es sobreyectivo.Como por el teorema3.3 ∆ g : H 2 (M) −→ H 0 (M) es positivo, tenemos que‖(∆ g + γI)u‖ 2 = ‖∆ g u‖ 2 + 2γ〈∆ g u, u〉 + |γ| 2 ‖u‖ 2 ≥ |γ| 2 ‖u‖ 2y el operador ∆ g + γI : H 2 (M) −→ H 0 (M) es inyectivo.Parte II: El operador ∆ g + γI : H 2 (M) −→ H 0 (M) es continuo.51