El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

2.3 Análisis Funcional de operadores no acotadossi y sólo si ∀ φ, ψ ∈ dom(T )〈T φ, ψ〉 = 〈φ, T ψ〉Definición 2.12 (Operador autoadjunto)Al igual que en la teoría de operadores acotados, diremos que un operador Tes autoadjunto si T = T ∗ . En nuestro contexto esto significa que T es simétricoy que dom(T ) = dom(T ∗ ).Definición 2.13Un operador T se dice esencialmente autoadjunto si su clausura es autoadjunta.El Laplaciano usual como operadorConsideremos f : R n −→ R una función Borel medible de crecimiento polinomial,y definamos el operadorf(D) = f(D e1 , ..., D en )donde D ei es el operador que actúa derivando respecto a la variable i-ésima.Consideramos como dominio de f(D) el conjunto dom f(D) = F −1 [dom M f ],donde M f denota al operador de multiplicación, es decir, dom(M f ) = {h ∈L 2 (R n ): fh ∈ L 2 (R n )} y M f h = f h.Entonces, si ψ ∈ dom f(D)f(D)ψ = F −1 M f FψProbaremos que así definido f(D) resulta autoadjunto. Si ψ, ϕ ∈ dom f(D)entonces∫ ∫〈f(D)ψ, ϕ〉 = (f ˆψ)ˇϕ = f ˆψ ˆϕR n ∫R n= ˆψ(f ˆϕ) = ψ(f ˆϕ)ˇ = 〈ψ, f(D)ϕ〉∫R n R nde donde f(D) es simétrico.Teorema 2.5Si g : R n −→ R es una función de crecimiento polinomial entonces M g esesencialmente autoadjunto.27