El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

Herramientas del Análisis FuncionalT uα φ = límnT D α u nφ = límn(−1) |α| T un (D α φ) = (−1) |α| T u0 (D α φ)∀φ ∈ D. Por lo tanto, u α = D α u 0 en el sentido de las distribuciones, y estoimplica que que u ∈ W k (M). Luego tenemos que lím n ||u n −u 0 || k = 0 de donde{u n } es convergente y por tanto W k (M) es completo.□Observación 2.6El conjunto B = {u ∈ C k (M) : ‖u‖ k < +∞} está contenido en W k . Estoimplica que la identidad i: B −→ B ⊂ W k se extiende a un isomorfismoisométrico entre H k y la clausura de B en W k . Identificando H k con su imagenpor este isomorfismo obtenemos el siguiente resultado.Corolario 2.11Para todo k ∈ Z, H k (M) ⊂ W k (M).Concluimos así que podemos entender a los objetos de H k (M) como funcionesde L 2 (M) que poseen derivadas débiles hasta orden |α|.2.4.3. H s (R n ) como el dominio del Laplaciano.Otra manera equivalente de ver los Espacios de Sobolev es la siguiente:DefinamosH s (R n ) := dom[(∆ + I) s/2 ]equipado con la norma‖f‖ H s (∆) = ‖(∆ + I) s/2 f‖Observemos que coincide, como conjunto, con la definición dada al comienzode la seccióndom[(∆ + I) s/2 ] = {f ∈ L 2 (R n ): (∆ ̂ + I)s/2f ∈ L 2 (R n )}= {f ∈ L 2 (R n ): (1 + |ξ| 2 ) s/2 ˆf ∈ L 2 (R n )} = H s (R n )A su vez∫‖f‖ 2 H s (∆) = ‖(∆ + I) s/2 f‖ 2 = |(∆ + I) s/2 f| 2 (x)dx∫R n= (1 + |ξ| 2 ) s | ˆf 2 |(ξ)dξ = ‖f‖ 2 sR npor lo que las normas son las mismas y por tanto las definiciones equivalentes.32