El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

4.3 El Laplaciano como fuente de información geométrica.De aquí que v ⊥ w si y sólo si u ⊥ ˙γ(t). Notar que aquí también estamos identificandolos planos tangentes T v T x S n y T x S n . Tenemos entonces la ecuación|d x h(u)| = |u|siempre que u ⊥ v.Probamos entonces que⋆ |d tv exp(tv)| = 1 = |d tv exp(tv)|⋆ |d tv exp(tw)| = |w| sin t = |d tv exp(tw)|⋆ 〈d tv exp(tv), d tv exp(tw)〉 = 0 = 〈d tv exp(tv), d tv exp(tw)〉De aquí concluimos|d tv exp(u)| = |d tv exp(u)|∀ u ∈ T x S n , por lo que si z de la forma z = (d tv exp) −1 (u)|z| = |d tv exp ◦ (d tv exp) −1 (z)| = |d x h(z)|Como exp es inyectivo, d tv exp es biyectivo y por tanto|d x h(z)| = |z|∀ z ∈ T x S n . Luego h es isometría local. Además, h es inyectiva pues los mapasexponenciales lo son en los entornos considerados.Parte IV: El mapa h: exp[B(0, π)] −→ exp[B(0, π)] se extiende a una isometríasobreyectiva h: S n −→ S n .Veamos que exp[B(0, π)] cubre todo M salvo un punto. Supongamos que existendos puntos S 0 y S 1 que no están en exp[B(0, π)]. Sean γ 0 y γ 1 las geodésicasparametrizadas por longitud de arco que unen N con S 0 y S 1 respectivamente.Consideremos la variación geodésica K : [0, π] × [0, 1] −→ M definida por69K(t, s) = exp(t cos s ˙γ 0 (0) + t sin s ˙γ 1 (0)) = exp(tv s )