El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

Observación 1.3De la expresión en coordenadas locales y la observación 1.2 tenemos que∀ u ∈ C ∞ (M)∇ g u = G −1 ∇u.Definición 1.3 (Divergencia de un campo de vectores)Dada ω forma de volumen, definimos la divergencia de un campo X respectoa ω de la siguiente manera:Sea i X ω la (n − 1)-forma definida pori X ω(X 1 , ..., X n−1 ) = ω(X(x), X 1 , ..., X n−1 )∀ X 1 , ..., X n−1 ∈ T x M, ∀ x ∈ M.Luego d(i X ω) es una n-forma, por lo que existe un único número real div ω Xde manera qued(i X ω) = div ω X · ωCálculo explícito de la divergencia en coordenadas locales.Consideremos una forma de volumen ω = θdx 1 ∧ ... ∧ dx n con θ = √ det(g ij ) yX un campo. Entoncesi X ω(X 1 , ..., ˆX i , ..., X n ) = ω(X, X 1 , ..., ˆX i , ..., X n )= (−1) i−1 ω(X 1 , ..., X, ..., X n )= (−1) i−1 X i ω(X 1 , ..., X n )= (−1) i−1 X i θDonde X i denota la i-ésima componente del campo X y ˆX 1componente X i está omitida. Luegoindica que lad(i x ω) =n∑(−1) i−1 ∂(θXi )dx i ∧ dx 1 ∧ ... ∧ dˆx i ∧ ... ∧ dx n∂ xi=1i=n∑ ∂(θX i )dx 1 ∧ ... ∧ dx n∂ xi=1 i= 1 n∑ ∂(θX i )ωθ ∂ x ii=111