El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

2.2 Transformada de FourierEs fácil ver que C ∞ 0 (R n ) es denso en S(R n ) con la topología inducida por lanorma L 2 .Una de las buenas propiedades que mencionábamos es el hecho de que si restringimosF a S(R n ), la transformada inversa resulta ser efectivamente lainversa de la transformada de Fourier F. Por esto, es usual notar F −1 a latransformada inversa. El resultado lo probaremos más adelante.Proposición 2.1Se cumple que F(S(R n )) ⊂ S(R n ) y valen las siguientes fórmulas(−i) |α| ̂(Dα f)(ξ) = ξ α ˆf(ξ) (2.4)(−i) |α|̂(xα f)(ξ) = (D α ˆf)(ξ) (2.5)Demostración:La primera afirmación se deduce de las fórmulas ya que para cualquier α, βmultiíndicessup |ξ α D β û(ξ)| = sup |ξ α̂xβ u(ξ)| = sup | Dα̂(x β u)(ξ)|ξ∈R n ξ∈R n ξ∈R n≤1(2π) n/2 ‖Dα (x β u)‖ L 1 (R n ) < ∞ya que si una función está en S(R n ) entonces es absolutamente integrable ysus derivadas también están en S(R n ).Para verificar las fórmulas observemos que∂ ˆf (ξ) = ∂ [∂ξ i ∂ξ i==∫1(2π) n/2∫1(2π) n/2∫1(2π) n/2]f(x) e −i〈ξ,x〉 dxR nR n f(x) ∂∂ξ i[e−i〈ξ,x〉 ] dxR n (−i)x i f(x)e −i〈ξ,x〉 dx = (−i) ̂(x i f)(ξ)Derivando sucesivas veces obtenemos la fórmula 2.5. Para demostrar 2.4, observemosque21̂∂f∂x i(ξ) =∫1(2π) n/2= límR→+∞= i ˆf(ξ)R n1∂f∂x i(x)e −i〈x,ξ〉 dx(2π) n/2 ∫∂B(0,R)f(x)e −i〈x,ξ〉 dx + i∫1(2π) n/2R n ξ i f(x)dx