El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

4.3 El Laplaciano como fuente de información geométrica.□Definición 4.1 (Campos de Jacobi)Sean f ∈ C ∞ (M) y γ : [0, a] −→ M una curva geodésica. Un campo a lo largode γ se dice de Jacobi si satisface la siguiente ecuación diferencialD 2 J(t) + R( ˙γ(t), J(t)) ˙γ(t)dt2 ∀ t ∈ [0, a] y donde R denota al tensor de curvatura.Observación 4.1Un campo de Jacobi queda determinado por las condiciones iniciales J(0) yDJdt (0).Campos de Jacobi en la esfera S nSea γ : [0, π] −→ S n una geodésica de velocidad 1 uniendo los puntos antípodasγ(0) y γ(π). Tomemos w 0 ∈ T γ(0) M tal que |w| = 1 y 〈w, ˙γ(0)〉 γ(0) = 0, yconsideremos w(t) el campo paralelo con w = w(0) a lo largo de la curva γ(t).Veamos que J(t) = sin t w(t) es un campo de Jacobi. Sabemos que la curvaturaK = 1 y que | ˙γ(0)| = 1. Tenemos entonces quelo que implica que〈R( ˙γ, J) ˙γ, J〉 = |J| 2R( ˙γ, J) ˙γ = JPor otra parte, utilizando que w(t) es un campo paralelo obtenemos que( )D Ddt dt sin tw(t)= D dt (cos t w(t)) + D dt(sin t D dt w(t) )= − sin w(t) + cos t D w(t) = − sen t w(t) = −Jdt61