El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

2.4 Espacios de SobolevAdoptemos la notación u η = J η ∗ u. Luego,|u η (x + h) − u η (x)| =∫=∣ J η (y)[u(x + h − y) − u(x − y)]dy∣R∫n≤ J η (y)|u(x + h − y) − u(x − y)|dyR[∫n ] 1/2 [∫≤ Jη 2 (y)dy |u(x + h − y) − u(x − y)| 2 dyR n R n≤ C η[∫R n |u(z + h) − u(z)| 2 dz≤ C η |h| 2 ‖u‖ 2 1 ≤ C ′ η|h| 2Por lo que si δ < √ ε, entonces |uC η′ η (x + h) − u η (x)| < ε. Observemos que δ nodepende de u, por lo que a su vez obtenemos la equicontinuidad.] 1/2La acotación puntual es inmediata ya que∫|J η ∗ u(x)| =∣ J η (y)u(x − y)dy∣ ≤ ‖J η‖ 0 ‖u‖ 0 C ηR nParte II:Por la ecuación 2.8 existe η 0 tal que para toda u ∈ H 1 R (Rn )] 1/2‖J η0 ∗ u − u‖ 0 < ε 2Como por la parte (I) K η0 es precompacto, existe una ( √ ε)-red {ψ 2ν 1, ..., ψ n },con ν = vol B(0, R). Luego, para toda u η0 ∈ K η0 existe i ∈ {1, ..., n} tal que‖u η0 − ψ i ‖ ∞