El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

2.1 Distribuciones y derivadas débileslo que es una contradicción.Si ahora consideramos una función u de clase C 1 , utilizando el teorema deStokes y el hecho de que M no tiene borde, es inmediata una fórmula de “integraciónpor partes”. Luego, si u es lo suficientemente diferenciable tememosque∫∫(D α u)(x)φ(x)dx = (−1) |α| u(x)D α φ(x)dxMEsto motiva una definición de “derivada” de una distribución:Si T es de la forma T u es natural definir D α T u = (−1) |α| T D α u para tener laintegración por partes.Generalizando esta fórmula, dada una distribución T y un multiíndice α, definimos(D α T )(φ) = (−1) |α| T (D α φ) (2.1)para toda φ ∈ D.Veamos que así definida D α T es de hecho una distribución. Si miramos elmiembro derecho de la ecuación 2.1, la linealidad es inmediata de la linealidadde la derivada convencional y de T . Para ver que es continuo, tomemos{φ n } ⊂ C ∞ 0 (M) convergiendo a φ ∈ C ∞ 0 (M) en el sentido de D. Sabemosentonces que existe un compacto K tal que sop(φ n − φ) ⊂ K y por tantoAdemás,sop(D α φ n − D α φ) = sop(D α (φ n − φ)) ⊆ sop(φ n − φ) ⊂ KD β (D α (φ n − φ)) = D α+β (φ n − φ) −→ 0uniformemente en K. Así, obtuvimos que D α φ n −→ D α φ en el sentido de D.Como T es continua en el sentido de las distribuciones, T (D α φ n ) −→ T (D α φ),y por 2.1 vemos que esto es equivalente a que D α T (φ n ) −→ D α T (φ).MTerminando...Estamos ahora en condiciones de definir la derivada débil de una funciónu ∈ L 1 loc (M). Tomemos un multiíndice α. Si existe v α ∈ L 1 loc (M) tal queT vα = D α (T u ), entonces v α será único a menos de conjuntos de medida nula.A este elemento lo llamaremos α-ésima derivada débil de u, y notaremosD α u. Como adelantábamos, en caso de que exista la derivada en el sentidoconvencional, la derivada débil coincide con ésta.19